Question

【题目】如图所示，将矩形纸片折叠，使得顶点与边上的动点重合（点不与点、重合），为折痕，点、分别在边、上．连结、、，其中，与相交于点．过点、、．

（1）若，求证：；

（2）随着点的运动，若与相切于点，又与相切于点，且，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由矩形的性质得出，证出，由折叠的性质得出，由证明，即可得出结论；

（2）连接并延长交于，根据折叠的性质知：垂直平分，可得：，为的切线，可得：，又，可得：，，可证：，，，由为的切线，可得：，故：，，设的长为，则，，可求出的半径，在中，运用勾股定理可将的长求出，即可得出的长．

（1）证明：四边形是矩形，

，

，

，

，

，

由折叠的性质得：垂直平分，

，

在和中，，

，

；

（2）解：是的切线，

，

，

，

，

由折叠的性质得：垂直平分，

，

，

，

设，则，

，

连接并延长交于，如图2所示：

是的切线，

，

为矩形，

，

，

，

，

，

，

，

解得：，即，

．