Question

如图，等圆⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁经过⊙O₂的圆心，顺次连接A、O₁、B、O₂．
（1）求证：四边形AO₁BO₂是菱形；
（2）若⊙O₁的半径为2，求图中阴影部分的面积；
（3）过直径AC的端点C作⊙O₁的切线CE交AB的延长线于E，连接CO₂交AE于D，探究△AO₂D与△ACE之间有什么关系，并说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题,勾股定理,菱形的判定与性质,切线的性质,扇形面积的计算,相似三角形的判定

专题：综合题

分析：（1）由⊙O₁和⊙O₂是等圆即可推出四边形AO₁BO₂是菱形．
（2）易证△AO₁O₂和△BO₁O₂都是等边三角形，从而有∠AO₂B=∠AO₁B=120°，而AB左右两阴影部分面积相等，左部分的面积等于S_扇形O2AB-S_菱形AO1BO2，根据扇形和菱形的面积公式就可求出图中阴影部分的面积．
（3）易证∠AO₂D=∠ACE=90°，∠O₂AD=∠CAE，从而有△AO₂D∽△ACE，且相似比为AO₂：AC=1：2．

解答：解：（1）证明：∵⊙O₁和⊙O₂是等圆
∴AO₁=BO₁=O₂A=O₂B，
∴四边形AO₁BO₂是菱形．
（2）连接O₁O₂，交AB于点H，如图所示，
∵四边形AO₁BO₂是菱形，
∴AB⊥O₁O₂，AH=BH，O₁H=O₂H=1．
∵O₁A=O₁B=2，
∴AH=BH=

3

．
∴AB=2

3

．
∴S_菱形AO1BO2=

1

2

O₁O₂•AB=2

3

．
∵AO₁=BO₁=O₂A=O₂B=O₁O₂，
∴△AO₁O₂和△BO₁O₂都是等边三角形．
∴∠AO₂O₁=∠BO₂O₁=60°．
∴∠AO₂B=120°．
同理：∠AO₁B=120°．
∴S_阴影=2（

120π×22

360

-2

3

）=

8π

3

-4

3

．
∴图中阴影部分的面积为

8π

3

-4

3

．
（3）△AO₂D∽△ACE，相似比为1：2．
证明：∵AC是⊙O₁的直径，
∴∠AO₂C=90°．
∵CE与⊙O₁相切于点C，
∴AC⊥CE，即∠ACE=90°．
∴∠AO₂D=∠ACE=90°．
∵四边形AO₁BO₂是菱形，
∴∠O₂AD=∠CAE．
∴△AO₂D∽△ACE．
其相似比为AO₂：AC=1：2．

点评：本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定、扇形的面积公式、菱形的面积公式、勾股定理、切线的性质等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积，有一定的综合性．