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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    △ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M、N分别作AB的垂线交直角边于P、Q两点，线段MN运动的时间为ts．
    （1）线段MN运动过程中，t为何值时，四边形MNQP为矩形？
    （2）t为何值时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
    （3）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）
    分析：（1）当PM=QN时，四边形MNQP为矩形，建立含t的方程，求得t的值；
    （2）以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，△PQC∽△ABC时和△QPC∽△ABC，分别相似三角形的判定和性质，求得相对应的t的值；
    （3）分两种情况，点P可以在AC上时和当点P在BC上时，利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM，AM，再用S△APM=
    1
    2
    AM•PM得出y与t的函数关系式．
    解答：解：（1）∵AC=2，
    ∴AB=4，
    ∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t，
    ∴QN=BN•tan30°=
    		3
    3
    （3-t），
    由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即
    		3
    t=
    		3
    3
    （3-t），
    ∴t=
    3
    4
    ，
    ∴当t=
    3
    4
    s时，四边形MNQP为矩形；

    （2）由（1）知，当t=
    3
    4
    s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，
    ∴△PQC∽△ABC，
    除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时
    CQ
    CP
    =tan30°=
    		3
    3
    ，
    ∵
    AM
    AP
    =cos60°=
    1
    2
    ，
    ∴AP=2AM=2t，
    ∴CP=2-2t，
    BN
    BQ
    =cos30°=
    		3
    2
    ，
    ∴BQ=
    BN
    		3
    2
    =
    2
    		3
    3
    （3-t），
    又∵BC=2
    		3
    ，
    ∴CQ=2
    		3
    -
    2
    		3
    3
    （3-t）=
    2
    		3
    3
    t，
    ∴
    2
    		3
    t
    3
    2-2t
    =
    		3
    3
    ，
    ∴t=
    1
    2
    ，
    ∴当t=
    3
    4
    s或
    1
    2
    s时以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似；

    （3）当点P在AC上时，∵AM=t，
    ∴PM=AM•tan60°=
    		3
    t，
    ∴y=
    1
    2
    t•
    		3
    t=
    		3
    2
    t2（0≤t≤1）．
    当点P在BC上时，PM=BM•tan30°=
    		3
    3
    （4-t），
    ∴y=
    1
    2
    t•
    		3
    3
    （4-t）=-
    		3
    6
    t2+
    2
    		3
    3
    t（1≤t≤3）．
    点评：本题利用了锐角三角函数的概念，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积公式求解，运用了数形结合的思想来解决图形变化的问题，题目的综合性不小，计算量也很大．
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    A、y=
    3
    2
    x（0＜x＜2）
    B、y=
    3
    2
    x（0＜x≤2）
    C、y=
    2
    3
    x（0＜x≤2）
    D、y=
    2
    3
    x（0＜x＜2）

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    5＜AC＜11
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