【题目】如图,在正方形中,以
为腰向正方形内部作等腰
,点
在
上,且
.连接
并延长,与
交于点
, 与
延长线交于点
.连接
交
于点
,连接
.若
,
,则
______.
【答案】
【解析】
设DG=3a,CG=9a,作KM⊥CD于M,EN⊥AB于N,想办法求出线段KF、EF、KM、EN、FG,想办法用a的代数式表示四边形EFKC的面积,再求出a即可解决问题;
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠ADC=90°,
∵CG=3DG,
∴可以假设DG=3a,CG=9a,
则AB=AD=BC=CD=12a,
∴DG∥AB,
∴=
=
=
,
∴DH=4a,GH=5a,BH=20a,
∵AE2=BFBH,AE=AB,
∴AB2=BFBH,
∴=
,∵∠ABF=∠ABH,
∴△ABF∽HBA,
∴∠AFB=∠BAH=90°,
∴AF==
a,BF=
a,
∴FG=BH-BF-GH=a,
∵AE=AD,
∴∠ADE=∠AED,
∵∠ADE+∠GDK=90°,∠KEF+∠EKF=90°,∠EKF=∠GKD,
∴∠GDK=∠GKD,
∴GD=GK=3a,
作KM⊥CD于M,EN⊥AB于N,
∵=
,
∴KM=a,
∵△AFB≌△ANE,
∴EN=BF=a,
∴S四边形EFKC=S△EFK+S△ECK
=s△EFK+(S△CDE-S△CDK)
=×
a×
a+(
×12a×
a-
×12a×
a)
=a2,
∵FG=a=
,
∴a=,
∴S四边形EFKC=,
故答案为.
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【题目】如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,若∠BAC=100°,则∠EAG=_____.
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AB的中点,点E是AB边上一点.
(1)BF⊥CE于点F,交CD于点G(如图①).求证:AE=CG;
(2)AH⊥CE,垂足为H,交CD的延长线于点M(如图②),找出图中与BE相等的线段,并证明.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E(与点B、C不重合)是BC边上一点,将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF,过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G,连接CF.
(1)求证:△ABE≌△EGF;
(2)若AB=2,S△ABE=2S△ECF , 求BE.
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【题目】概念学习
规定:如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角,那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
从三角形不是等腰三角形
一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原来三角形是“等角三角形”,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
理解概念
如图1,在
中,
,
,请写出图中两对“等角三角形”
概念应用
如图2,在
中,CD为角平分线,
,
.
求证:CD为的等角分割线.
在
中,
,CD是
的等角分割线,直接写出
的度数.
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【题目】一淘宝店主购进、
两款
恤在网上进行销售,
款
恤每件价格
元,
款
恤每件价格
元,第一批共购买
件.
(1)该淘宝店主第一批购进的恤的总费用不超过
元,求
款
恤最少购买多少件?
(2)由于销售情况良好,该淘宝店主打算购进第二批恤,购进的
、
两款
恤件数之比为
,价格保持第一批的价格不变;第三批购进
款
恤的价格在第一批购买的价格上每件减少了
元,
款
恤的价格比第一批购进的价格上每件增加了
元,
款
恤的数量比第二批增加了
,
款
恤的数量比第二批减少了
,第二批与第三批购进的
恤的总费用相同,求
的值.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C,点P在边AB上.
(1)判断四边形ABCD的形状并加以证明;
(2)若AB=AD,以过点P的直线为轴,将四边形ABCD折叠,使点B、C分别落在点B′、C′上,且B′C′经过点D,折痕与四边形的另一交点为Q.
①在图2中作出四边形PB′C′Q(保留作图痕迹,不必说明作法和理由);
②如果∠C=60°,那么 为何值时,B′P⊥AB.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,若点P能落在线段AB上,则线段CF长的最小值是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),现同时将点A,B分别向上平移2个单位,再向右平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.
(1)求点C,D的坐标及平行四边形ABDC的面积.
(2)在y轴上是否存在一点P,连接PA,PB,使=2
,若存在这样一点,求出点P的坐标,若不存在,试说明理由.
(3)点P是四边形ABCD边上的点,若△OPC为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
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