【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C,点P在边AB上.
(1)判断四边形ABCD的形状并加以证明;
(2)若AB=AD,以过点P的直线为轴,将四边形ABCD折叠,使点B、C分别落在点B′、C′上,且B′C′经过点D,折痕与四边形的另一交点为Q.
①在图2中作出四边形PB′C′Q(保留作图痕迹,不必说明作法和理由);
②如果∠C=60°,那么 为何值时,B′P⊥AB.
【答案】
(1)解:四边形ABCD是平行四边形
证明:∵在四边形ABCD中,AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=∠C,
∴∠C+∠B=180°,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形
(2)解:①作图如下:
②当AB=AD时,平行四边形ABCD是菱形,
由折叠可得,BP=B′P,CQ=C′Q,BC=B′C′,∠C=∠C′=60°=∠A,
当B′P⊥AB时,由B′P∥C′Q,可得C′Q⊥CD,
∴∠PEA=30°=∠DEB′,∠QDC′=30°=∠B′DE,
∴B′D=B′E,
设AP=a,BP=b,则直角三角形APE中,PE= a,且B′P=b,BC=B′C′=CD=a+b,
∴B′E=b﹣ a=B′D,
∴C′D=a+b﹣(b﹣ a)=a+ a,
∴直角三角形C′QD中,C′Q= a=CQ,DQ= C′Q= a,
∵CD=DQ+CQ=a+b,
∴ a+ a=a+b,
整理得( +1)a=b,
∴ = = ,即 =
【解析】(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断;(2)①根据轴对称的性质进行作图即可;②先根据折叠得出一些对应边相等,对应角相等,并推导出B′D=B′E,再设AP=a,BP=b,利用解直角三角形将DQ和CQ长用含a的代数式表示出来,最后根据CD=DQ+CQ列出关于a、b的关系式,求得a、b的比值即可.本题主要考查了平行四边形以及菱形,解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质.在解题时注意,菱形的四条边都相等,此外在折叠问题中,需要抓住对应边相等,对应角相等这些等量关系,折叠问题的实质是轴对称的性质.
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【题目】如图,直线: 与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线与x轴、y轴分别交于C、两点,且︰︰.
(1)求直线的解析式,并判断的形状;
(2)如图,为直线上一点,横坐标为,为直线上一动点,当最小时,将线段沿射线方向平移,平移后、的对应点分别为、,当最小时,求点的坐标;
(3)如图,将沿着轴翻折,得到,再将绕着点顺时针旋转()得到,直线与直线、轴分别交于点、.当为等腰三角形时,请直接写出线段的长.
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【题目】把一个足球垂直水平地面向上踢,时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)适用公式h=20t﹣5t2(0≤t≤4).
(1)当t=3时,求足球距离地面的高度;
(2)当足球距离地面的高度为10米时,求t;
(3)若存在实数t1 , t2(t1≠t2)当t=t1或t2时,足球距离地面的高度都为m(米),求m的取值范围.
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【题目】(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=45°,把△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG,请直接写出图中所有的全等三角形;
(2)在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°.
①如图2,若E、F分别是边BC、CD上的点,且2∠EAF=∠BAD,求证:EF=BE+DF;
②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且2∠EAF=∠BAD,①中的结论是否仍然成立?请说明理由
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【题目】已知:如图1,在平面直角坐标系中,点A,B,C都在坐标轴上,且OA=OB=OC,△ABC的面积为9,点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动,连接PA,PB,D(﹣m,﹣m)为AC上的点(m>0)
(1)试分别求出A,B,C三点的坐标;
(2)设点P运动的时间为t秒,问:当t为何值时,DP与DB垂直且相等?请说明理由;
(3)如图2,若PA=AB,在第四象限内有一动点Q,连QA,QB,QP,且∠PQA=60°,当Q在第四象限内运动时,求∠APQ与∠PBQ的度数和.
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