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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C,点P在边AB上.

(1)判断四边形ABCD的形状并加以证明;
(2)若AB=AD,以过点P的直线为轴,将四边形ABCD折叠,使点B、C分别落在点B′、C′上,且B′C′经过点D,折痕与四边形的另一交点为Q.
①在图2中作出四边形PB′C′Q(保留作图痕迹,不必说明作法和理由);
②如果∠C=60°,那么 为何值时,B′P⊥AB.

【答案】
(1)解:四边形ABCD是平行四边形

证明:∵在四边形ABCD中,AD∥BC,

∴∠A+∠B=180°,

∵∠A=∠C,

∴∠C+∠B=180°,

∴AB∥CD,

∴四边形ABCD是平行四边形


(2)解:①作图如下:

②当AB=AD时,平行四边形ABCD是菱形,

由折叠可得,BP=B′P,CQ=C′Q,BC=B′C′,∠C=∠C′=60°=∠A,

当B′P⊥AB时,由B′P∥C′Q,可得C′Q⊥CD,

∴∠PEA=30°=∠DEB′,∠QDC′=30°=∠B′DE,

∴B′D=B′E,

设AP=a,BP=b,则直角三角形APE中,PE= a,且B′P=b,BC=B′C′=CD=a+b,

∴B′E=b﹣ a=B′D,

∴C′D=a+b﹣(b﹣ a)=a+ a,

∴直角三角形C′QD中,C′Q= a=CQ,DQ= C′Q= a,

∵CD=DQ+CQ=a+b,

a+ a=a+b,

整理得( +1)a=b,

= = ,即 =


【解析】(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断;(2)①根据轴对称的性质进行作图即可;②先根据折叠得出一些对应边相等,对应角相等,并推导出B′D=B′E,再设AP=a,BP=b,利用解直角三角形将DQ和CQ长用含a的代数式表示出来,最后根据CD=DQ+CQ列出关于a、b的关系式,求得a、b的比值即可.本题主要考查了平行四边形以及菱形,解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质.在解题时注意,菱形的四条边都相等,此外在折叠问题中,需要抓住对应边相等,对应角相等这些等量关系,折叠问题的实质是轴对称的性质.

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