Question

【题目】已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D（﹣m，﹣m）为AC上的点（m＞0）

（1）试分别求出A，B，C三点的坐标；

（2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？请说明理由；

（3）如图2，若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，求∠APQ与∠PBQ的度数和．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（3，0），C（0，﹣3）；（2）当t=3秒时， DP与DB垂直且相等，理由见解析；（3）∠APQ+∠PBQ=120°．

【解析】

（1）利用OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90° 得出∠ACB=90°，再利用△ABC的面积为9，得出OA=OC=OB=3 即可得出各点的坐标；
（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，假设出D点的坐标，进而得出△PCD≌△BOD，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；
（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等边三角形，进而得出△APS≌△BPQ，从而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案．

（1）A（﹣3，0），B（3，0），C（0，﹣3）；

（2）当t=3秒时， DP与DB垂直且相等．

理由如下：连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，

∵D（﹣m，﹣m），

∴DM=DN=OM=ON=m，

∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，

∴DC=DO，∠ODC=90°

∵∠ODB+∠BDC=∠CDP+∠BDC=90°

∴∠ODB =∠CDP

又 ∵DP=DB

∴ △PCD≌△BOD （SAS）

∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，

∴∠BDP=∠ODC=90°，

即DP⊥DB.

∴ PC=BO

∴ t=3 ；

（3）在QA上截取QS=QP，连接PS．

∵∠PQA=60°，

∴△QSP是等边三角形，

∴PS=PQ，∠SPQ=60°，

∵PO是AB的垂直平分线，

∴PA=PB 而PA=AB，

∴△PAB是等边三角形，

∴∠APB=60°，

∴∠APS=∠BPQ，

∴△APS≌△BPQ，

∴∠PAS=∠PBQ，

∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．