Question

【题目】已知：△ABC是边长为3的等边三角形,以BC为底边作一个顶角为120等腰△BDC.点M、点N分别是AB边与AC边上的点,并且满足∠MDN=60

（1）如图1，当点D在△ABC外部时，求证：BM+CN=MN；

（2）当点D在△ABC内部时，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出△AMN的周长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【解析】

（1）延长AB至F，使BF=CN，连接DF，证明△BDF≌△CDN，△DMN≌△DMF即可得到结论；

（2）延长BD交AC于P，延长CD交AB于Q，截取KP=QM，连接DK．通过证明△BDQ≌△CDP，△MDQ≌△KDP，△MDN≌△KDN可得△AMN的周长＝AQ+AP=3．

（1）延长AB至F，使BF=CN，连接DF．

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°．

∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠DBA=∠DCA=90°，∴∠DBF=∠DBA=∠DCA=90°．

在△BDF和△CND中，∵BF=CN，∠DBF=∠DCN，DB=DC，∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．

∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边，∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF．

∵MF=BM+BF=MB+CN，∴MN=BM+CN．

（2）延长BD交AC于P，延长CD交AB于Q，截取KP=QM，连接DK．

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDQ=∠CDP=60°．

又∵△ABC等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠MBD=∠PCD=30°，CQ⊥AB，BP⊥AC，∴AQ=BQAB，AP=PCAC．

在△BDQ和△CDP中，∵，∴△BDQ≌△CDP（ASA），∴BQ=PC，QD=PD．

∵CQ⊥AB，BP⊥AC，∴∠MQD=∠DPK=90°．

在△MDQ与△KDP中，

∵，

∴△MDQ≌△KDP（SAS），

∴∠QDM=∠PDK，DM=DK．

∵∠BDQ=60°，∠MDN=60°，∴∠QDM+∠PDN=60°，

∴∠PDK+∠PDN=60°，即∠KDN=60°．

在△MDN与△KDN中，∵，∴△MDN≌△KDN（SAS），

∴MN=KN=NP+PK，

∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AQ+AP3．

故△AMN的周长为3．