Question

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，BC=8，AB=10，动点M在线段BC上从点C向点B运动．MN∥AB交AC于点N，四边形CMEN关于MN对称，△ABC与△ABD及四边形CMEN与四边形DPFQ都关于直线AB对称．
（1）求四边形ACBD的面积；
（2）若E在PQ上方（包括在PQ上），且设MN=x，△EMN和△FPQ与六边形ANMBPQ不重叠部分的面积为S，求S与x函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为何值时，S有最小值，并求出S的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出AC，求出△ABC的面积即可解决问题．
（2）①如图1中，连接CD交MN于G，交PQ于H，交AB于L．由$\frac{1}{2}$•AB•CL=$\frac{1}{2}$•AC•BC，推出CL=$\frac{24}{5}$，由△CMN∽△CAB，可得$\frac{MN}{AB}$=$\frac{CG}{CL}$，可得$\frac{x}{10}$=$\frac{CG}{\frac{24}{5}}$，推出CG=EG=FH=DH=$\frac{12}{25}$x，如果4×$\frac{12}{25}$x=$\frac{48}{5}$，解得x=5，可得当0＜x≤5时，S=48-4×$\frac{1}{2}$×x×$\frac{12}{25}$x=48-$\frac{24}{25}$x²．②如图2中，当5＜x≤$\frac{20}{3}$时，S=四边形AMRP的面积+四边形BNFQ的面积，由此计算即可．
（3）利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，BC=8，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$×8×6=24．
由题意可知S_{四边形ACBD}=2•S_△ABC=48．

（2）①如图1中，连接CD交MN于G，交PQ于H，交AB于L．

∵$\frac{1}{2}$•AB•CL=$\frac{1}{2}$•AC•BC，
∴CL=$\frac{24}{5}$，
由△CMN∽△CAB，可得$\frac{MN}{AB}$=$\frac{CG}{CL}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{CG}{\frac{24}{5}}$，
∴CG=EG=FH=DH=$\frac{12}{25}$x，
如果4×$\frac{12}{25}$x=$\frac{48}{5}$，解得x=5
∴当0＜x≤5时，S=48-4×$\frac{1}{2}$×x×$\frac{12}{25}$x=48-$\frac{24}{25}$x²．
②如图2中，当5＜x≤$\frac{20}{3}$时，S=四边形AMRP的面积+四边形BNFQ的面积=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$（8-$\frac{4}{5}$x）×（$\frac{24}{5}$-$\frac{12}{25}$x）+2×$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{5}$（6-$\frac{3}{5}$x）（$\frac{24}{5}$-$\frac{12}{25}$x）=$\frac{24}{25}$x²-$\frac{96}{5}$x+96．

综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{24}{25}{x}^{2}+48}&{（0＜x≤5）}\\{\frac{24}{25}{x}^{2}-\frac{96}{5}x+96}&{（5＜x≤\frac{20}{3}）}\end{array}\right.$．

（3）由（2）可知，当0＜x≤5时，S=48-$\frac{24}{25}$x²．
当x=5时，S有最小值，最小值为24．
当5＜x≤$\frac{20}{3}$时，S=$\frac{24}{25}$x²-$\frac{96}{5}$x+96=$\frac{24}{25}$（x-10）²，
∴x=$\frac{20}{3}$时，S有最小值，最小值为$\frac{32}{3}$．
综上所述，S的最小值为$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查圆综合题、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、勾股定理、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．