Question

11．如图，正方形ABOD的边长为2，OB在x轴上，OD在y轴上，且AD∥OB，AB∥OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点F．
（1）求直线CD的函数关系式；
（2）过点C作CE⊥DF且交于点E，求证：∠ADC=∠EDC；
（3）求点E坐标；
（4）点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可求得C、D的坐标，利用待定系数法可求得直线CD的函数关系式；
（2）可先证明△ADC≌△BCF，可求得CF=CD，可得DE=EF，可证明∠ADC=∠EDC；
（3）由条件可求得B点坐标，可求得BF=BC的长，利用△BCF∽△BEC可求得BE的长，则可求得OE的长，可求得E点坐标；
（4）由（2）可知点D与F关于直线CE对称，连接BD交直线CE于点P，则可知P点即为满足条件的动点，由勾股定理可求得BD的长，即PB+PF的最小值．

解答 解：
（1）∵四边形ABOD为正方形，
∴AB=BO=OD=AD=2，
∴D（0，2），
∵C为AB的中点，
∴BC=1，
∴C（-2，1），
设直线CD解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线CD的函数关系式为y=$\frac{1}{2}$x+2；
（2）∵C是AB的中点，
∴AC=BC，
∵四边形ABOD是正方形，
∴∠A=∠CBF=90°，
在△ACD和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CBF}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴CF=CD，
∵CE⊥DF，
∴CE垂直平分DF，
∴DE=FE，
∴∠EDC=∠EFC，
∵AD∥BF，
∴∠EFC=∠ADC，
∴∠ADC=∠EDC；
（3）由（2）可BF=AD=1，且BC=1，
∵∠CBF=∠CBE=∠FCE=90°，
∴∠CFB+∠FCB=∠FCB+∠ECB=90°，
∴∠CFB=∠BCE，
∴△BCF∽△BEC，
∴$\frac{BF}{CB}$=$\frac{CB}{BE}$，即$\frac{2}{1}$=$\frac{1}{BE}$，解得BE=$\frac{1}{2}$，
∴OE=OB-BE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴E点坐标为（-$\frac{3}{2}$，0）；
（4）如图，连接BD交直线CE于点P，

由（2）可知点D与点F关于直线CE对称，
∴PD=PF，
∴PB+PF=PB+PD≥BD，
∵B（-2，0），D（0，2），
∴BD=2$\sqrt{2}$，
∴PB+PF的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质等知识．在（1）中求得C、D的坐标是解题的关键，在（2）中证得DE=EF是解题的关键，在（3）中求得BE的长是解题的关键，在（4）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．