Question

1．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与A重合．
（Ⅰ）求证：GB=GD；
（Ⅱ）求tan∠ABG的值；
（Ⅲ）求EF的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据折叠的性质和三角形全等的判定定理证明△ABG≌△C′GD，得到GB=GD；
（Ⅱ）设AG为x，根据勾股定理求出x的值，根据正确的概念求出tan∠ABG的值；
（Ⅲ）证明△DHF∽△DAB，求出HF的值，根据△ABG≌△C′GD，得到∠ABG=∠HDE，求出EH的长，计算出EF的长．

解答 （Ⅰ）证明：∵矩形纸片ABCD，
∴∠C=∠BAD=90°，AB=CD，
由折叠性质可知，CD=C′D，∠C=∠C′=90°，
∴∠BAD=∠C′，AB=C′D，
在△ABG和△C′GD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠C′}\\{AB=C′D}\\{∠AGB=∠C′GD}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△C′DG，
∴GB=GD；
（Ⅱ）设AG为x，
∵△ABG≌△C′DG，AD=8，
∴BG=DG=AD-AG=8-x，
在Rt△ABG中，BG²=AG²+AB²，
即（8-x）²=x²+36，
解得，x=$\frac{7}{4}$，
∴tan∠ABG=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{7}{24}$．
（Ⅲ）由折叠的性质可知，∠EHD=90°，DH=AH=4，
∴AB∥EF，
∴△DHF∽△DAB，
∴$\frac{HF}{AB}=\frac{DH}{DA}$，即$\frac{HF}{6}$=$\frac{1}{2}$，
解得HF=3，
又∵△ABG≌△C′DG，
∴∠ABG=∠HDE，
∴tan∠ABG=tan∠HDE=$\frac{EH}{HD}$，即$\frac{7}{24}$=$\frac{EH}{4}$，
解得EH=$\frac{7}{6}$，
∴EF=EH+HF=$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查的是折叠的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念、勾股定理和相似三角形的判定和性质的应用，灵活运用性质和定理是解题的关键．