【题目】已知:以O为圆心的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为 上一动点,射线AC交射线OB于点D,过点D作OD的垂线交射线OC于点E,联结AE.
(1)如图1,当四边形AODE为矩形时,求∠ADO的度数;
(2)当扇形的半径长为5,且AC=6时,求线段DE的长;
(3)联结BC,试问:在点C运动的过程中,∠BCD的大小是否确定?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.
【答案】
(1)解:如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=EC,AC=CD,OC=CE,∠AOD=90°
∴AC=OC=OA,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠OAD=60°,
∴∠ADO=90°﹣∠OAD=30°.
(2)解:如图2中,作OH⊥AD于H.
∵OA=OC,OH⊥AC,
∴AH=HC=3,
∵∠OAH=∠OAD,∠AHO=∠AOD,
∴△AOH∽△ADO,
∴ =
,
∴ =
,
∴AD= ,
∴CD=AD﹣AC= ,
∵DE⊥OD,
∴∠EDO=90°,
∴∠AOD+∠EDO=180°,
∴DE∥OA,
∴ =
,
∴ =
,
∴DE= .
(3)解:如图3中,结论:∠BCD的值是确定的.∠BCD=45°.
理由:连接AB、BC.
∵∠BCD=∠BAC+∠ABC,
又∵∠BAC= ∠BOC,∠ABC=
∠AOC,
∴∠BCD= ∠BOC+
∠AOC=
(∠BCO+∠AOC)=
×90°=45°.
【解析】(1)利用矩形的性质,只要证明△OAC是等边三角形即可求解题中问题;(2)作OH⊥AD于H.由△AOH∽△ADO,推出=
,可得AD的长度,CD=AD﹣AC的长度,由DE∥OA,可得
=
,即可求出DE;(3)结论:∠BCD的值是确定的.∠BCD=45°.连接AB、BC.由∠BCD=∠BAC+∠ABC,又∠BAC=
∠BOC,∠ABC=
∠AOC,即可得出结论。
【考点精析】掌握矩形的性质和平行线分线段成比例是解答本题的根本,需要知道矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等;三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
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【题目】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为mcm,宽为ncm)的盒子底部(如图②)盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,则图②中两块阴影部分的周长和是( )
A.4m cmB.4n cmC.2(m+n) cmD.4(m-n) cm
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,
(1)求作⊙O,圆心O是AD的中垂线与AB的交点,OD为半径.(尺规作图,不写作法,保留痕迹)
(2)求证:BC是⊙O切线.
(3)若BD=5,DC=3,求AC的长.
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【题目】如图,矩形ABCD的面积为16cm2,对交线交于点O;以AB、AO为邻边作平行四边AOC1B,对角线交于点O1,以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B,…;依此类推,则平行四边形AO4C5B的面积为( )
A. cm2 B. 1cm2 C. 2cm2 D. 4cm2
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【题目】下表是橘子的销售额随橘子卖出质量的变化表:
质量/千克 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | … |
销售额/元 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | … |
(1)这个表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)当橘子卖出5千克时,销售额是_______元.
(3)如果用表示橘子卖出的质量,
表示销售额,按表中给出的关系,
与
之间的关系式为______.
(4)当橘子的销售额是100元时,共卖出多少千克橘子?
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【题目】已知,两正方形在数轴上运动,起始状态如图所示.A、F表示的数分别为-2、10,大正方形的边长为4个单位长度,小正方形的边长为2个单位长度,两正方形同时出发,相向而行,小正方形的速度是大正方形速度的两倍,两个正方形从相遇到刚好完全离开用时2秒.完成下列问题:
(1)求起始位置D、E表示的数;
(2)求两正方形运动的速度;
(3)M、N分别是AD、EF中点,当正方形开始运动时,射线MA开始以15°/s的速度顺时针旋转至MD结束,射线NF开始以30°/s的速度逆时针旋转至NE结束,若两射线所在直线互相垂直时,求MN的长.
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【题目】小明在学习过程中,对教材中的一个有趣问题做如下探究:
(习题回顾)已知:如图1,在中,
,
是角平分线,
是高,
、
相交于点
.求证:
;
(变式思考)如图2,在中,
,
是
边上的高,若
的外角
的平分线交
的延长线于点
,其反向延长线与
边的延长线交于点
,则
与
还相等吗?说明理由;
(探究延伸)如图3,在中,
上存在一点
,使得
,
的平分线
交
于点
.
的外角
的平分线所在直线
与
的延长线交于点
.直接写出
与
的数量关系.
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