Question

如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）直线，
当x=0时，y=6，
当y=0时，x=12，
∴B（12，0），C（0，6），
解方程组：得：，
∴A（6，3），
答：A（6，3），B（12，0），C（0，6）．

（2）解：设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴×6×x=12，
解得：x=4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：
，
解得：，
∴y=-x+6，
答：直线CD的函数表达式是y=-x+6．

（3）答：存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或（-3，3）或．
分析：（1）把x=0，y=0分别代入直线L₁，即可求出y和x的值，即得到B、C的坐标，解由直线BC和直线OA的方程组即可求出A的坐标；（2）设D（x，x），代入面积公式即可求出x，即得到D的坐标，设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入即可求出直线CD的函数表达式；（3）存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，根据菱形的性质能写出Q的坐标．
点评：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，菱形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算．此题是一个综合性很强的题目．