Question

【题目】(1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？

在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明　 ．

(2)初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)

(3)推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心．

Answer 1

【答案】(1)ME＝MD＝MB＝MC；(2)证明见解析；(3)证明见解析．

【解析】

(1)要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等．

(2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME＝MD＝MB＝MC，得到四边形BCDE为圆内接四边形，故有对角互补．

(3)根据内心定义，需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点B、C、D、E四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据(2)易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线．

解：(1)根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上

故答案为：ME＝MD＝MB＝MC

(2)证明：连接MD、ME

∵BD、CE是△ABC的高

∴BD⊥AC，CE⊥AB

∴∠BDC＝∠CEB＝90°

∵M为BC的中点

∴ME＝MD＝BC＝MB＝MC

∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上

∴∠ABC+CDE＝180°

∵∠ADE+∠CDE＝180°

∴∠ADE＝∠ABC

(3)证明：取BG中点N，连接EN、FN

∵CE、AF是△ABC的高

∴∠BEG＝∠BFG＝90°

∴EN＝FN＝BG＝BN＝NG

∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上

∴∠FBG＝∠FEG

∵由(2)证得点B、C、D、E在同一个圆上

∴∠FBG＝∠CED

∴∠FEG＝∠CED

同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG

∴点G是△DEF的内心