Question

【题目】抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D（xD，yD）为抛物线上一个动点，其中1＜xD＜3．连接AC，BC，DB，DC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍时，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点D坐标（2，3）；（3）M坐标（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）

【解析】

（1）利用待定系数法求函数解析式；

（2）根据解析式先求出△AOC的面积，设点D（xD，yD），由直线BC的解析式表示点E的坐标，求出DE的长，再由△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍，列出关于xD 的方程得到点D的坐标；

（3）设点M（m，0），点N（x，y），分两种情况讨论：当BD为边时或BD为对角线时，列中点关系式解答.

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），

∴，

解得：

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图，过点D作DH⊥x轴，与直线BC交于点E，

∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，与y轴交于点C，

∴点C（0，3），

∴OC＝3，

∴S△AOC＝×1×3＝，

∵点B（3，0），点C（0，3）

∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，

∵点D（xD，yD），

∴点E（xD，﹣xD+3），yD＝﹣xD2+2xD+3，

∴DE＝﹣xD2+2xD+3﹣（﹣xD+3）＝﹣xD2+3xD，

∴S△BCD＝3＝×DE×3，

∵△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍

∴2＝﹣xD2+3xD，

∴xD＝1（舍去），xD＝2，

∴点D坐标（2，3）；

（3）设点M（m，0），点N（x，y）

当BD为边，四边形BDNM是平行四边形，

∴BN与DM互相平分，

∴，

∴y＝3，

∴3＝﹣x2+2x+3

∴x＝2（不合题意），x＝0

∴点N（0，3）

∴，

∴m＝1，

当BD为边，四边形BDMN是平行四边形，

∴BM与DN互相平分，

∴，

∴y＝﹣3，

∴﹣3＝﹣x2+2x+3

∴x＝1±，

∴，

∴m＝±，

当BD为对角线，

∴BD中点坐标（，），

∴， ，

∴y＝3，

∴3＝﹣x2+2x+3

∴x＝2（不合题意），x＝0

∴点N（0，3）

∴m＝5，

综上所述点M坐标（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）．