Question

【题目】如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB 的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．

（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；

（2）求证：AH是⊙O的切线；

（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为 ．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）根据矩形的性质得到AE∥OC，AE＝OC即可证明；

（2）根据平行四边形的性质得到∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC，再根据等腰三角形的性质得到∠OCF＝∠OFC．故可得∠AOD＝∠AOF，利用SAS证明△AOD≌△AOF，由ADO＝90°得到AH⊥OF，即可证明；

（3）根据切线长定理可得AD=AF,CH=FH=2,设AD=x,则AF=x,AH=x+2,BH=x-2，再利用在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,代入即可求x,即可得到AH的长.

（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD．

∵E是AB的中点，

∴AE＝AB．

∵CD是⊙O的直径，

∴OC＝CD．∴AE∥OC，AE＝OC．

∴四边形AECO为平行四边形．

（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，

∴AO∥EC

∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．

∵OF＝OC

∴∠OCF＝∠OFC．

∴∠AOD＝∠AOF．

∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF

∴△AOD≌△AOF．

∴∠ADO＝∠AFO．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADO＝90°．

∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．

∵点F在⊙O上，

∴AH是⊙O的切线．

（3）∵HC、FH为圆O的切线，AD、AF是圆O的切线

∴AD=AF,CH=FH=2,

设AD=x,则AF=x,AH=x+2,BH=x-2，

在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,

即（x+2）2=62+（x-2）2,

解得x=

∴AH=+2=.