Question

在等腰Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE且AD⊥AC，连接EC，取EC的中点M，连结DM和BM，结论：△BMD为等腰直角三角形成立吗？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：先证明△MDE≌△MFC，得出AD=ED=FC，再作AN⊥EC于点N，证出△DBF是等腰直角三角形，根据点M是DF的中点，得出△BMD是等腰直角三角形．

解答：证明：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
∵CF∥ED，
∴∠MCF=∠MED，
在△MDE和△MFC中，

∠MCF=∠MED EM=CM ∠CMF=∠EMD

，
∴△MDE≌△MFC（ASA），
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵CF∥ED，
∴∠1=∠FCM，
∴∠BCF=∠4+∠FCM=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD，
在△BCF和△BAD中，

AB=BC ∠BCF=∠BAD CF=AD

，
∴△BCF≌△BAD（SAS），
∴BF=BD，∠5=∠6，
∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵点M是DF的中点，
∴△BMD是等腰直角三角形．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．熟练掌握判定定理及性质并灵活运用是解题的关键．