Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连接BE、ED，过点B的直线交ED的延长线于F，且∠DBF=∠BED．
（1）判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为2.5，DE=3，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，证明∠OBF=90°即可解决问题．
（2）如图，作辅助线，先求出BC的长度；再借助勾股定理列出关于AE的方程，即可解决问题．

解答：解：（1）BF与⊙O相切；理由如下：
如图，连接OD；
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB（设为α），
则∠BOD=180°-2α，∠BED=

1

2

∠BOD=90°-α；
∵∠DBF=∠BED，
∴∠DBF+∠OBD=90°-α+α=90°，
即∠OBF=90°，
∴BF与⊙O相切．
（2）如图，连接AD；
∵⊙O的半径为2.5，
∴AB=AC=5；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°；而AB=AC，
∴BD=CD，即DE是直角△BEC斜边的中线，
∴BC=2DE=6；设AE=λ，
则CE=5-λ；由勾股定理得：
BE²=AB²-AE²，BE²=BC²-CE²，
∴5²-λ²=6²-（5-λ）²，
解得：λ=

7

5

，
即AE的长为

7

5

．

点评：该题主要考查了切线的判定及其性质、圆周角定理及其推论、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．