Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于E，BE交CD于F．求证：PF²=PD•PC．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作直径EN，连结DN、CE、ED，如图，根据圆周角定理得∠EDN=90°，则∠N+∠NED=90°，再根据切线的性质得∠PED+∠NED=90°，加上∠N=∠PED，所以∠N=∠C，于是可判断△PED∽△PCE，利用相似比得到PE²=PD•PC，然后证明∠PEF=∠PFE得到PE=PF，则有PF²=PD•PC．

解答：证明：作直径EN，连结DN、CE、ED，如图，
∵NE为直径，
∴∠EDN=90°，
∴∠N+∠NED=90°，
∵PE切⊙O于E，
∴∠OEP=90°，即∠PED+∠NED=90°，
∴∠N=∠PED，
∵∠N=∠C，
而∠EPD=∠CPE，
∴△PED∽△PCE，
∴PE：PC=PD：PE，
∴PE²=PD•PC，
∵CD⊥AB，
∴∠MBF+∠MFB=90°，
而∠MBF=∠OEB，∠PFE=∠MFB，
∴∠OEB+∠PFE=90°，
而∠PEF+∠OEB=90°，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF，
∴PF²=PD•PC．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了相似三角形的判定与性质．