Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠A=30°，DE=1，则DF的长是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：易证BC=BD，即可证明△ACB≌△FDB，可得DF=AC，BD=BC，易证∠EBA=∠A=30°，即可求得BC的长，即可求得AC的长，即可解题．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
∵AB=2BD，
∴BC=BD，
∵在△ACB和△FDB中，

∠BDF=∠ACB=90° BD=BC ∠ABC=∠FBD

，
∴△ACB≌△FDB，（ASA）
∴DF=AC，BD=BC，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴BE=2DE=2，∴BC=

3

，
∴DF=AC=

3

BC=3，
故答案为 3．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了垂直平分线的性质，本题中求证△ACB≌△FDB是解题的关键．