精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,抛物线yax2+bxa<0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点CD在抛物线上.设At,0),当t=2时,AD=4.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?

(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点GH,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.

【答案】(1)y=;(2)t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为;(3)抛物线向右平移的距离是4个单位.

【解析】

(1)由点E的坐标设抛物线的交点式,再把点D的坐标(2,4)代入计算可得;

(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,据此知AB=10-2t,再由x=t, 根据矩形的周长公式列出函数解析式,配方成顶点式即可得;

(3)由t=2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标,由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P,根据ABCD知线段OD平移后得到的线段是GH,由线段OD的中点Q平移后的对应点是PPQOBD中位线,据此可得.

解:(1)设抛物线解析式为

∵当t=2时,AD=4,

∴点D的坐标为(2,4),

∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4,

解得:a=

抛物线的函数表达式为

(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,

AB=10﹣2t,

x=t时,

∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)

<0,

∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为

(3)如图,

t=2时,点A、B、C、D的坐标分别为(2,0)、(8,0)、(8,4)、(2,4),

∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5,2),

当平移后的抛物线过点A,点H的坐标为(2,4),此时GH不能将矩形面积平分;

当平移后的抛物线过点C时,点G的坐标为(6,0),此时GH也不能将矩形面积平分;

∴当G、H中有一点落在线段ADBC上时,直线GH不可能将矩形的面积平分,

当点G、H分别落在线段AB、DC上时,直线GH过点P,必平分矩形ABCD的面积,

ABCD,

∴线段OD平移后得到的线段GH,

∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P,

在△OBD中,PQ是中位线,

PQ=OB=4,

所以抛物线向右平移的距离是4个单位.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在反比例函数y=﹣的图象上有一点A,连接AO并延长交图象的另一支于点B,在第一象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数y=的图象上运动,若tanCAB=3,则k=_____

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】感知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当APD=90°时,可知△ABP∽△PCD.(不要求证明)

探究:如图,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD.

拓展:如图,在ABC中,点P是边BC的中点,点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,CE=4,则DE的长为   

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知二次函数yax2+bx+ca≠0)的图象如图,有下列6个结论:

abc<0;

bac

4a+2b+c>0;

2c<3b

a+bmam+b),(m≠1的实数)

2a+b+c>0,其中正确的结论的有_____

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某中学开通了互联网家校合育教育平台,为了解家长使用平台的情况,学校将家长的使用情况分为“经常使用”、“偶尔使用”和‘不使用’三种类型,借助该平台大数据功能,汇总出该校吧(1)班和八(2)班全体家长的使用情况,并绘制成如图所示的两幅变质的统计图:

请根据图中信息解答下列问题

1)此次调查的家长总人数是___________;

2)扇形统计图中代表“不使用”类型的扇形圆心角的度数是___________度;算出八(2)班全体家长“经常使用”平台的人数并补全条形统计图;

3)若该校八年级家长共有1200人,根据此次调查结果估计该校八年级中“经常使用”类型的家长月有多少人?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】y轴右侧且平行于y轴的直线l被反比例函数)与函数)所截,当直线l向右平移4个单位时,直线l被两函数图象所截得的线段扫过的面积为__________平方单位.

【答案】8

【解析】y轴右侧且平行于y轴的直线l被反比例函数y=x0)与函数y=+2x0)所截,∴设它们的交点为ACAC=2,∵直线l向右平移4个单位,∴CD=4,∴直线l被两函数图象所截得的线段扫过的面积为 2×4=8平方单位.故答案为8.

型】填空
束】
14

【题目】函数的图象如右图所示,则结论:

两函数图象的交点的坐标为时,

时, 逐渐增大时, 随着的增大而增大, 随着的增大而减小.

其中正确结论的序号是

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,DAC的中点,DEAB于点EDEAC于点F,DBAC于点G,若,则=_____

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知如图,ABC是⊙O的内接正三角形,弦EF经过BC边的中点D,且EFBA,若⊙O的半径为DE的长为(

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,∠AOB60°,CBO延长线上一点,OC12cm,动点P从点C出发沿CB2cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA1cm/s的速度移动,如果点PQ同时出发,用ts)表示移动的时间,当t_____s时,△POQ是等腰三角形.

查看答案和解析>>

同步练习册答案