【题目】如图,抛物线y=ax2+bx(a<0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
【答案】(1)y=;(2)当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为;(3)抛物线向右平移的距离是4个单位.
【解析】
(1)由点E的坐标设抛物线的交点式,再把点D的坐标(2,4)代入计算可得;
(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,据此知AB=10-2t,再由x=t时, 根据矩形的周长公式列出函数解析式,配方成顶点式即可得;
(3)由t=2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标,由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P,根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH,由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是△OBD中位线,据此可得.
解:(1)设抛物线解析式为,
∵当t=2时,AD=4,
∴点D的坐标为(2,4),
∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4,
解得:a=,
抛物线的函数表达式为
(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,
∴AB=10﹣2t,
当x=t时,
∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)
∵<0,
∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为;
(3)如图,
当t=2时,点A、B、C、D的坐标分别为(2,0)、(8,0)、(8,4)、(2,4),
∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5,2),
当平移后的抛物线过点A时,点H的坐标为(2,4),此时GH不能将矩形面积平分;
当平移后的抛物线过点C时,点G的坐标为(6,0),此时GH也不能将矩形面积平分;
∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时,直线GH不可能将矩形的面积平分,
当点G、H分别落在线段AB、DC上时,直线GH过点P,必平分矩形ABCD的面积,
∵AB∥CD,
∴线段OD平移后得到的线段GH,
∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P,
在△OBD中,PQ是中位线,
∴PQ=OB=4,
所以抛物线向右平移的距离是4个单位.
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【题目】如图,在反比例函数y=﹣的图象上有一点A,连接AO并延长交图象的另一支于点B,在第一象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数y=的图象上运动,若tan∠CAB=3,则k=_____.
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【题目】感知:如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,可知△ABP∽△PCD.(不要求证明)
探究:如图②,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD.
拓展:如图③,在△ABC中,点P是边BC的中点,点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,CE=4,则DE的长为 .
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列6个结论:
①abc<0;
②b<a﹣c;
③4a+2b+c>0;
④2c<3b;
⑤a+b<m(am+b),(m≠1的实数)
⑥2a+b+c>0,其中正确的结论的有_____.
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【题目】某中学开通了互联网家校合育教育平台,为了解家长使用平台的情况,学校将家长的使用情况分为“经常使用”、“偶尔使用”和‘不使用’三种类型,借助该平台大数据功能,汇总出该校吧(1)班和八(2)班全体家长的使用情况,并绘制成如图所示的两幅变质的统计图:
请根据图中信息解答下列问题
(1)此次调查的家长总人数是___________;
(2)扇形统计图中代表“不使用”类型的扇形圆心角的度数是___________度;算出八(2)班全体家长“经常使用”平台的人数并补全条形统计图;
(3)若该校八年级家长共有1200人,根据此次调查结果估计该校八年级中“经常使用”类型的家长月有多少人?
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【题目】在y轴右侧且平行于y轴的直线l被反比例函数()与函数()所截,当直线l向右平移4个单位时,直线l被两函数图象所截得的线段扫过的面积为__________平方单位.
【答案】8
【解析】∵y轴右侧且平行于y轴的直线l被反比例函数y=(x>0)与函数y=+2(x>0)所截,∴设它们的交点为A,C,∴AC=2,∵直线l向右平移4个单位,∴CD=4,∴直线l被两函数图象所截得的线段扫过的面积为 2×4=8平方单位.故答案为8.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】函数的图象如右图所示,则结论:
①两函数图象的交点的坐标为; ②当时, ;
③当时, ; ④当逐渐增大时, 随着的增大而增大, 随着的增大而减小.
其中正确结论的序号是 .
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【题目】如图,∠AOB=60°,C是BO延长线上一点,OC=12cm,动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t=_____s时,△POQ是等腰三角形.
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