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【题目】已知二次函数yax2+bx+ca≠0)的图象如图,有下列6个结论:

abc<0;

bac

4a+2b+c>0;

2c<3b

a+bmam+b),(m≠1的实数)

2a+b+c>0,其中正确的结论的有_____

【答案】①③④⑥

【解析】

①由抛物线的开口方向判断a0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c0的关系,然后根据对称轴位置确定b的符号,可对①作判断;

②根据ac的符号可得:a-c<0,根据b的符号可作判断;

③根据对称性可得:当x=2时,y>0,可作判断;

④根据对称轴为:x=1可得:a=-b,结合x=-1时,y<0,可作判断;

⑤根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断;

⑥根据2a+b=0c>0可作判断.

解:①∵该抛物线开口方向向下,∴a<0.

∵抛物线对称轴在y轴右侧,∴a、b异号,∴b>0;

∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,

∴abc<0;

故①正确;

②∵a<0,c>0,∴ac<0,

∵b>0,∴b>ac,

故②错误;

③根据抛物线的对称性知,当x=2时,y>0,即4a+2b+c>0;故③正确;

④∵对称轴方程x==1,∴b=2a,∴a=b,

∵当x=1时,y=ab+c<0,∴b+c<0,

∴2c<3b,

故④正确;

⑤∵x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,

x=1对应的函数值为y=a+b+c,

x=1时函数取得最大值,

∴当m≠1,a+b+c>am2+bm+c,a+b>am2+bm=m(am+b),

故⑤错误

⑥∵b=2a,∴2a+b=0,

∵c>0,

∴2a+b+c>0,

故⑥正确.

综上所述,其中正确的结论的有:①③④⑥.

故答案为:①③④⑥.

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