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【题目】如图,已知AD既是△ABC的中线,又是角平分线,请判断:

(1)△ABC的形状;

(2)AD是否过△ABC外接圆的圆心O,⊙O是否是△ABC的外接圆,并证明你的结论.

【答案】证明见解析.

【解析】

试题(1)过点DDE⊥AB于点EDF⊥AC于点F,根据HL定理可得出△BDE≌△CDF,进而得出结论;

2)根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC,再由BD=CD,可知AD过圆心O,故可得出结论.

试题解析:(1)答:△ABC是等腰三角形.

证明:过点DDE⊥AB于点EDF⊥AC于点F

∵AD是角平分线,

∴DE=DF

∵AD△ABC的中线,

∴BD=CD

Rt△BDERt△CDF中,

∴△BDE≌△CDFHL).

∴∠B=∠C

∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形;

2)答:AD△ABC的外接圆圆心O⊙O△ABC的外接圆.

证明:∵AB=ACAD是角平分线,

∴AD⊥BC

∵BD=CD

∴AD过圆心O

作边AB的中垂线交AD于点O,交AB于点M,则点O就是△ABC的外接圆圆心,

∴⊙O△ABC的外接圆.

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