【题目】用适当的方法解下列方程:
(1)x2﹣3x=0; (2)x2﹣4x+2=0;
(3)x2﹣x﹣6=0; (4)(x+1)(x﹣2)=4﹣2x.
【答案】(1)x1=0,x2=3;(2)x1=2+,x2=2﹣
;(3)x1=3,x2=﹣2;(4)x1=2,x2=1.
【解析】
(1)适合因式分解法,方程左边直接提公因式即可求解;
(2)用配方法即可求解,首先移项,把常数项移到等号的右边,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方,即可使左边是完全平方式,右边是常数,即可求解;
(3)直接用因式分解法;
(4)将4-2x移到左边后再用因式分解法.
解: (1)x2﹣3x=0,
x(x﹣3)=0,
x=0,x﹣3=0,
x1=0,x2=3;
(2)移项,得
x2﹣4x=﹣2,
配方,得
x2﹣4x+4=2,
即(x﹣2)2=2,
开方,得
x﹣2=,
x1=2+,x2=2﹣
;
(3)x2﹣x﹣6=0
(x﹣3)(x+2)=0,
x﹣3=0,x+2=0,
x1=3,x2=﹣2;
(4)(x+1)(x﹣2)=4﹣2x
(x+1)(x﹣2)﹣2(x﹣2)=0
(x﹣2)(x+1﹣2)=0,
x﹣2=0或x﹣1=0,
x1=2,x2=1.
故答案为:(1)x1=0,x2=3;(2)x1=2+,x2=2﹣
;(3)x1=3,x2=﹣2;(4)x1=2,x2=1.
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【题目】已知,正方形ABPD的边长为3,将边DP绕点P顺时针旋转90°至PC,E、F分别为线段DP、CP上两个动点(不与D、P、C重合),且DE=CF,连接BE并延长分别交DF、DC于H、G.
(1)①求证:△BPE≌△DPF,②判断BG与DF位置关系并说明理由;
(2)当PE的长度为多少时,四边形DEFG为菱形并说明理由;
(3)连接AH,在点E、F运动的过程中,∠AHB的大小是否发生改变?若改变,请说出是如何变化的;若不改变,请求出∠AHB的度数.
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【题目】如图,有长为30m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10m),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB为xm,面积为ym2.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为63m2的花圃,AB的长是多少?
(3)能围成比63m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积;如果不能,请说明理由.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列6个结论:
①abc<0;
②b<a﹣c;
③4a+2b+c>0;
④2c<3b;
⑤a+b<m(am+b),(m≠1的实数)
⑥2a+b+c>0,其中正确的结论的有_____.
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【题目】如图,已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D,交BC的延长线于点E.
(1)求证:∠DAC=∠DCE;
(2)若AB=2,sin∠D=,求AE的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点A(a,a),B(a,a﹣3),其中a为整数.点C在线段AB上,且点C的横纵坐标均为整数.
(1)当a=1时,画出线段AB;
(2)若点C在x轴上,求出点C的坐标;
(3)若点C纵坐标满足,直接写出a的所有可能取值: .
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【题目】英国曼彻斯特大学物理学家安德烈·盖姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫,用微机械剥离法成功从石墨中分离出石墨烯,荣获了诺贝尔物理学奖.石墨烯具有优异的光学、电学、 力学特性,在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景,被认为是一种未来革命性的材料. 其理论厚度仅 0.000 000 000 34 m,将这个数据用科学记数法表示为_______m.
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【题目】如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a>0)与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC.
(1)求线段OC的长度;
(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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