Question

5．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F是边AB上的动点，E为直线BC上一点，且∠EDF=120°．
①如图1，求证：DF=DE；
②如图2，过点D作DM⊥BC于M，求$\frac{BE-BF}{EM}$的值．

Answer 1

分析 ①如图1中，作DH∥BC交AB于H．只要证明△DHF≌△DCE，即可推出DF=DE．
②如图2中，在BC上取一点H，使得BH=BF，连接DH，BD．由△DBF≌△DBH，推出DF=DH，由DF=DE，推出DH=DE，由DM⊥EH，推出HM=EM，推出BE-BF=BE-BH=HE=2EM，由此即可解决问题．

解答 解：①如图1中，作DH∥BC交AB于H．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DH∥BC，
∴∠AHD=∠B=60°，∠ADH=∠ACB=60°
∴△AHD是等边三角形，
∴DH=AD=DC，∠DHF=∠DCE=∠HDC=120°，
∵∠HDC=∠FDE=120°，
∴∠HDF=∠CDE，
在△DHF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHF=∠DCE}\\{DH=DC}\\{∠HDF=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△DCE，
∴DF=DE．

②如图2中，在BC上取一点H，使得BH=BF，连接DH，BD．

∵BA=BC，AD=CD，
∴∠DBF=∠DBH，
在△DBF和△DBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BH}\\{∠DBF=∠DBH}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△DBH，
∴DF=DH，
∵DF=DE，
∴DH=DE，
∵DM⊥EH，
∴HM=EM，
∴BE-BF=BE-BH=HE=2EM，
∴$\frac{BE-BF}{EM}$=2．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．