Question

19．如图．正比例函数y=kx经过点P（1，2）．
（1）求这个正比例函数的表达式；
（2）将这个正比例函数的图象向右平移4个单位，写出平移后点P、O的像P′、O′的坐标，并求出平移后的直线的表达式；
（3）求这两条直线之间的距离．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法把P（1，2）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式．
（2）根据平移的性质即可求得P′、O′的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式；
（3）作PQ⊥x轴与Q，O′H⊥OP于H，根据三角形相似即可求得．

解答 解：（1）∵正比例函数y=kx经过点（1，2），
∴2=1•k，
解得：k=2，
∴这个正比例函数的解析式为：y=2x．
（2）将这个正比例函数的图象向右平移4个单位，P′（5，2）、O′（4，0），
设平移后的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=2}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-8}\end{array}\right.$，
∴平移后的直线的表达式为y=2x-8．
（3）如图，作PQ⊥x轴与Q，O′H⊥OP于H，
∵P（1，2），
∴OP=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠OQP=∠OO′H=90°，∠QOP=∠HOO′，
∴△QOP∽△HOO′，
∴$\frac{O′H}{PQ}$=$\frac{OO′}{OP}$，即$\frac{O′H}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴O′H=$\frac{8}{5}$$\sqrt{5}$．
∴这两条直线之间的距离为$\frac{8}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是一次函数的图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定和性质．