Question

9．如图所示，某市为加快“工业立市”的步伐，计划在四边形工业区ABCD中建立一个土特产中转站O，使点O到A，B，C，D四点的连线之和最小，请你找出点O．

Answer 1

分析 连接AC、BD相交于点O，则点O就是所要找的点；取不同于点P的任意一点P，连接PA、PB、PC、PD，根据三角形任意两边之和大于第三边可得PA+PC＞AC，PB+PD＞BD，然后结合图形即可得到PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，从而可得点O就是所要找的四边形ABCD内符合要求的点．

解答 解：如图，要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC、BD的交点．

理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接PA、PB、PC、PD，
那么PA+PC＞AC，
即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
则PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小．

点评 本题考查了三角形的任意两边之和大于第三边的性质，作出图形更助于问题的解决，本题渗透了反证法的思想，希望同学们逐渐适应并熟练掌握．