【题目】在菱形中,对角线与交于点,,,点是对角线上一点(可与,重合),以点为圆心,为半径作(其中).
(1)如图1,当点与重合,且时,过点,分别作的切线,切点分别为,.求证:;
(2)如图2,当点与点重合,且在菱形内部时(不含边界),求的取值范围;
(3)当点为或的内心时,直接写出的长.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)或.
【解析】
(1)连接,,则AM=AN,根据切线的性质可得90°,据此通过“HL”证明Rt△BMA与Rt△DNA全等,最后利用全等三角形性质证明结论即可;
(2)当点与点重合,在菱形内部时,过点P作于点,根据菱形的性质可得,,由此进一步利用勾股定理计算出,最后通过结合题意进一步分析求解即可;
(3)如图,当点为内心时,过作于,作于,则有,连接、,根据求出此时圆的半径,从而根据直接计算即可,然后当点为的内心时,按照相同的方法进一步求解即可.
(1)
如图,连接,,则AM=AN,
∵,分别是的切线,
∴90°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∴在Rt△BMA与Rt△DNA中,
∵,,
∴,
∴;
(2)
如图,当点与点重合,在菱形内部时,过点P作于点,
在菱形中,,,
∴,,
∴,
∴,
由,得,
解得:,
∴当点与点重合,且在菱形内部时,的取值范围是:;
(3)AP长为或.
如图,当点为内心时,过作于,作于,
则有,连接、,
则有,
由菱形性质可得:AB=AD=BC=CD=5,AO=OC=3,BO=OD=4,
∴,
解得:,
则;
当点为的内心时,同理可得,
综上所诉,或.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,连接AD,E为AD的中点,过A作AF∥BC交BE延长线于F,连接CF.
(1)求证:四边形ADCF是菱形;
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出与△ACD面积相等的三角形(不包含△ACD).
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【题目】在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球,其上面分别标注数字1、2、3、,现从中任意摸出一个小球,将其上面的数字作为点M的横坐标;将球放回袋中搅匀,再从中任意摸出一个小球,将其上面的数字作为点M的纵坐标.
(1)求点M在直线y=x上的概率;
(2)求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.
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【题目】学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时间,身高为的小明的影子长是,而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点,并测得.
(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置;
(2)求路灯灯泡的垂直高度;
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去,当小明走到BH中点B1处时,请在图中画出此时小明的影长B1C1,并求B1C1的长;
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【题目】如图,已知是的直径,且,是上一点,将弧沿直线翻折,使翻折后的圆弧恰好经过圆心,则
(1)的长是_________.
(2)劣弧的长是__________.
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【题目】如图,二次函数的图象经过点,对称轴为直线,下列5个结论:①; ②; ③;④; ⑤,其中正确的结论为________________.(注:只填写正确结论的序号)
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【题目】小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=65m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,≈1.73)
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【题目】第二届“一带一路”国际合作高峰论坛将于2019年4月在北京举行.为了让恩施特产走出大山,走向世界,恩施一民营企业计划生产甲、乙两种商品共10万件,销住“一带一路”沿线国家和地区.已知3件甲种商品与2件乙种商品的销售收入相同,1件甲种商品比2件乙种商品的销售收入少600元.甲、乙两种商品的销售利润分别为120元和200元
(1)甲、乙两种商品的销售单价各多少元?
(2)市场调研表明:所有商品能全部售出,企业要求生产乙种商品的数量不超过甲种商品数量的,且甲、乙两种商品的销售总收入不低于3300万元,请你为该企业设计一种生产方案,使销售总利润最大.
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