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【题目】在菱形中,对角线交于点,点是对角线上一点(可与重合),以点为圆心,为半径作(其中).

1)如图1,当点重合,且时,过点分别作的切线,切点分别为.求证:

2)如图2,当点与点重合,且在菱形内部时(不含边界),求的取值范围;

3)当点的内心时,直接写出的长.

【答案】1)证明见解析;(2;(3

【解析】

1)连接,则AM=AN,根据切线的性质可得90°,据此通过“HL”证明RtBMARtDNA全等,最后利用全等三角形性质证明结论即可;

2)当点与点重合,在菱形内部时,过点P于点,根据菱形的性质可得,由此进一步利用勾股定理计算出,最后通过结合题意进一步分析求解即可;

3)如图,当点内心时,过,作,则有,连接,根据求出此时圆的半径,从而根据直接计算即可,然后当点的内心时,按照相同的方法进一步求解即可.

1

如图,连接,则AM=AN

分别是的切线,

90°,

∵四边形ABCD是菱形,

AB=AD

∴在RtBMARtDNA中,

2

如图,当点与点重合,在菱形内部时,过点P于点

在菱形中,

,得

解得:

∴当点与点重合,且在菱形内部时,的取值范围是:

3AP长为

如图,当点内心时,过,作

则有,连接

则有

由菱形性质可得:AB=AD=BC=CD=5AO=OC=3BO=OD=4

解得:

当点的内心时,同理可得

综上所诉,

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