【题目】我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
(1)概念理解:
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;
(2)问题探究;
如图1,在等邻角四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由;
(3)应用拓展;
如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时,求出它的面积.
【答案】(1)矩形或正方形;(2)AC=BD;(3)或.
【解析】
试题分析:(1)矩形或正方形邻角相等,满足“等邻角四边形”条件;
(2)AC=BD,理由为:连接PD,PC,如图1所示,根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线,得到两对角相等,利用等角对等角得到两对角相等,进而确定出∠APC=∠DPB,利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;
(3)分两种情况考虑:(i)当∠AD′B=∠D′BC时,延长AD′,CB交于点E,如图3(i)所示,由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′,求出四边形ACBD′面积;(ii)当∠D′BC=∠ACB=90°时,过点D′作D′E⊥AC于点E,如图3(ii)所示,由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′,求出四边形ACBD′面积即可.
试题解析:(1)矩形或正方形;
(2)AC=BD,理由为:
连接PD,PC,如图1所示:
∵PE是AD的垂直平分线,PF是BC的垂直平分线,∴PA=PD,PC=PB,∴∠PAD=∠PDA,∠PBC=∠PCB,∴∠DPB=2∠PAD,∠APC=2∠PBC,即∠PAD=∠PBC,∴∠APC=∠DPB,∴△APC≌△DPB(SAS),∴AC=BD;
(3)分两种情况考虑:
(i)当∠AD′B=∠D′BC时,延长AD′,CB交于点E,如图3(i)所示,
∴∠ED′B=∠EBD′,∴EB=ED′,设EB=ED′=x,由勾股定理得:,解得:x=4.5,过点D′作D′F⊥CE于F,∴D′F∥AC,∴△ED′F∽△EAC,∴,即,解得:D′F=,∴S△ACE=AC×EC=×4×(3+4.5)=15;S△BED′=BE×D′F=×4.5×=,则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=;
(ii)当∠D′BC=∠ACB=90°时,过点D′作D′E⊥AC于点E,如图3(ii)所示,∴四边形ECBD′是矩形,∴ED′=BC=3,在Rt△AED′中,根据勾股定理得:AE==,∴S△AED′=AE×ED′=××3=,S矩形ECBD′=CE×CB=(4﹣)×3=,则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′==.
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【题目】九年级一班5名女生进行体育测试,她们的成绩分别为70,80,85,75,85(单位:分),这次测试成绩的众数和中位数分别是( )
A.79,85 B.80,79 C.85,80 D.85,85
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【题目】如图,已知直线y=﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.
(1)求点A、C的坐标;
(2)将△ABC对折,使得点A的与点C重合,折痕交AB于点D,求直线CD的解析式;
(3)在(2)的条件下,坐标平面内是否存在点P(除点B外),使得△APC与△ABC全等?若存在,直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知直线l1∥l2 , 直线l3和直线l1、l2交于点C和D,在直线CD上有一点P.
(1)如果P点在C、D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD有怎样的数量关系?请说明理由.
(2)若点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合),试探索∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系又是如何?
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【题目】如果∠α和∠β互补,且∠α>∠β,则下列表示∠β的余角的式子中:①90°﹣∠β;②∠α﹣90°;③ (∠α+∠β);④ (∠α﹣∠β).正确的有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
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【题目】O为直线DA上一点,OB⊥OF,EO是∠AOB的平分线.
(1)如图(1),若∠AOB=130°,求∠EOF的度数;
(2)若∠AOB=α,90°<α<180°,求∠EOF的度数;
(3)若∠AOB=α,0°<α<90°,请在图(2)中画出射线OF,使得(2)中∠EOF的结果仍然成立.
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