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【题目】我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

(1)概念理解:

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;

(2)问题探究;

如图1,在等邻角四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由;

(3)应用拓展;

如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时,求出它的面积.

【答案】(1)矩形或正方形;(2)AC=BD;(3)

【解析】

试题分析:(1)矩形或正方形邻角相等,满足“等邻角四边形”条件;

(2)AC=BD,理由为:连接PD,PC,如图1所示,根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线,得到两对角相等,利用等角对等角得到两对角相等,进而确定出∠APC=∠DPB,利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;

(3)分两种情况考虑:(i)当∠AD′B=∠D′BC时,延长AD′,CB交于点E,如图3(i)所示,由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′,求出四边形ACBD′面积;(ii)当∠D′BC=∠ACB=90°时,过点D′作D′E⊥AC于点E,如图3(ii)所示,由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′,求出四边形ACBD′面积即可.

试题解析:(1)矩形或正方形;

(2)AC=BD,理由为:

连接PD,PC,如图1所示:

∵PE是AD的垂直平分线,PF是BC的垂直平分线,∴PA=PD,PC=PB,∴∠PAD=∠PDA,∠PBC=∠PCB,∴∠DPB=2∠PAD,∠APC=2∠PBC,即∠PAD=∠PBC,∴∠APC=∠DPB,∴△APC≌△DPB(SAS),∴AC=BD;

(3)分两种情况考虑:

(i)当∠AD′B=∠D′BC时,延长AD′,CB交于点E,如图3(i)所示,

∴∠ED′B=∠EBD′,∴EB=ED′,设EB=ED′=x,由勾股定理得:,解得:x=4.5,过点D′作D′F⊥CE于F,∴D′F∥AC,∴△ED′F∽△EAC,∴,即,解得:D′F=,∴S△ACE=AC×EC=×4×(3+4.5)=15;S△BED′=BE×D′F=×4.5×=,则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=

(ii)当∠D′BC=∠ACB=90°时,过点D′作D′E⊥AC于点E,如图3(ii)所示,∴四边形ECBD′是矩形,∴ED′=BC=3,在Rt△AED′中,根据勾股定理得:AE==,∴S△AED′=AE×ED′=××3=,S矩形ECBD′=CE×CB=(4﹣)×3=,则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′==

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