Question

13．如图，△ABC三个顶点都在⊙O上，D，E分别为$\widehat{AB}$，$\widehat{AC}$中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G，求证：AF•AG=DF•EG．

Answer 1

分析 根据相似三角形的判定定理证得△ADF∽△EAG，然后由相似三角形的对应边成比例求得$\frac{AF}{EG}=\frac{DF}{AG}$，即AF•AG=DF•EG．

解答 证明：如图，连接AD，AE，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠BAD=∠E，（等弧所对的圆周角相等）
∠CAE=∠D，
∴△ADF∽△EAG
∴$\frac{AF}{EG}=\frac{DF}{AG}$，
∴AF•AG=DF•EG．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．在证明△ADF∽△EAG时，利用等弧所对的弦相等证明AD=BD，AE=CE是关键．