【题目】如图,将边长为6的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠,展开后,得折痕(如图①),为其交点.
(1)探求与的数量关系,并说明理由;
(2)如图②,若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时,求的长度;
②如图③,若点在线段上,,则的最小值为 .
【答案】 (1) ; (2) ① ; ②.
【解析】
(1)根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°,得到AO=OB,根据直角三角形的性质即可得到结论;
(2)如图②,作点D关于BE的对称点D',过D'作D′N⊥BC于N交BE于P,则此时PN+PD的长度取得最小值,根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′,推出△BDD′是等边三角形,得到BN=BD=,于是得到结论;
(3)如图③,作Q关于BC的对称点Q',作D关于BE的对称点D',连接Q′D′,即为QN+NP+PD的最小值.根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°,∠QBQ′=60°,得到△BQQ′为等边三角形,△BDD′为等边三角形,解直角三角形即可得到结论.
(1)AO=2OD.
理由:∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°
∴AO=OB,
∵BD=CD,
∴AD⊥BC,
∴∠BDO=90°,
∴OB=2OD,
∴AO=2OD.
(2)①如图,作点D关于BE的对称点D′,过D′作D′N⊥BC于N交BE于P,则此时PN+PD的长度取得最小值,
∵BE垂直平分DD′,
∴BD=BD′,
∵∠ABC=60°,
∴△BDD′是等边三角形,
∴BN=BD=,
∵∠PBN=30°,
∴,
∴PB=.
②如图,作Q关于BC的对称点Q′,作D关于BE的对称点D′,连接Q′D′,即为QN+NP+PD的值最小值,
根据轴对称的定义可知:∠Q′BN=∠QBN=30°,∠QBQ′=60°,
∴△BQQ′为等边三角形,△BDD′为等边三角形,
∴∠D′BQ′=90°,
∴在Rt△D′BQ′中,
D′Q′= ,
∴QN+NP+PD的最小值= .
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【题目】下列说法中错误的是( )
A. 在△ABC中,∠C=∠A-∠B,则△ABC为直角三角形
B. 在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3,则△ABC为直角三角形
C. 在△ABC中,若a=c,b=c,则△ABC为直角三角形
D. 在△ABC中,若a∶b∶c=2∶2∶4,则△ABC为直角三角形
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【题目】如图所示,平面直角坐标系中,△ABC的边AB在x轴上,∠C=60°,AC交y轴于点E,AC,BC的长是方程x2﹣16x+64=0的两个根且OA:OB=1:3,请解答下列问题:
(1)求点C的坐标;
(2)求直线EB的解析式;
(3)在x轴上是否存在点P,使△BEP为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC和△EBD中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,BE=BD,连接AE,CD,AE与CD交于点M,AE与BC交于点N.
(1)求证:AE=CD;
(2)求证:AE⊥CD;
(3)连接BM,有以下两个结论:①BM平分∠CBE;②MB平分∠AMD.其中正确的有 (请写序号,少选、错选均不得分).
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【题目】(1)如图①,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+1与x、y 轴分别交于点A、B,在直线 AB上截取BB1=AB,过点B1分别作x、y 轴的垂线,垂足分别为点A1、C1,得到矩形OA1B1C1;在直线 AB上截取B1B2= BB1,过点B2分别作x、y 轴的垂线,垂足分别为点A2 、C2,得到矩形OA2B2C2;在直线AB上截取B2B3= B1B2,过点B3分别作x、y 轴的垂线,垂足分别为点A3、C3,得到矩形OA3B3C3;……;
则点B1的坐标是 ;第3个矩形OA3B3C3的面积是 ;
第n个矩形OAnBnCn的面积是 (用含n的式子表示,n是正整数).
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【题目】如图,一次军事演习中,蓝方在﹣条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截.红方行驶2000米到达C后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同距离,刚好在D处成功拦截蓝方.
(1)求点C到公路的距离;
(2)求红蓝双方最初的距离.(结果保留根号)
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