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【题目】如图,将边长为6的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠,展开后,得折痕(如图①),为其交点.

(1)探求的数量关系,并说明理由;

(2)如图②,若分别为上的动点.

①当的长度取得最小值时,求的长度;

②如图③,若点在线段上,,则的最小值为 .

【答案】 (1) (2) ① ; ②.

【解析】

(1)根据等边三角形的性质得到∠BAO=ABO=OBD=30°,得到AO=OB,根据直角三角形的性质即可得到结论;
(2)如图②,作点D关于BE的对称点D',D'D′NBCNBEP,则此时PN+PD的长度取得最小值,根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′,推出BDD′是等边三角形,得到BN=BD=,于是得到结论;
(3)如图③,Q关于BC的对称点Q',D关于BE的对称点D',连接Q′D′,即为QN+NP+PD的最小值.根据轴对称的定义得到∠Q′BN=QBN=30°,QBQ′=60°,得到BQQ′为等边三角形,BDD′为等边三角形,解直角三角形即可得到结论.

(1)AO=2OD.

理由:∵△ABC是等边三角形,

∴∠BAO=ABO=OBD=30°

AO=OB,

BD=CD,

ADBC,

∴∠BDO=90°,

OB=2OD,

AO=2OD.

(2)①如图,作点D关于BE的对称点D′,过D′D′NBCNBEP,则此时PN+PD的长度取得最小值,

BE垂直平分DD′,

BD=BD′,

∵∠ABC=60°,

∴△BDD′是等边三角形,

BN=BD=

∵∠PBN=30°,

PB=.

②如图,作Q关于BC的对称点Q′,作D关于BE的对称点D′,连接Q′D′,即为QN+NP+PD的值最小值,

根据轴对称的定义可知:∠Q′BN=QBN=30°,QBQ′=60°,

∴△BQQ′为等边三角形,BDD′为等边三角形,

∴∠D′BQ′=90°,

∴在RtD′BQ′中,

D′Q′=

QN+NP+PD的最小值= .

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(2)求证:AE⊥CD;

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则点B1的坐标是 ;第3个矩形OA3B3C3的面积是

n个矩形OAnBnCn的面积是 (用含n的式子表示,n是正整数).

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