【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D。
【解析】①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线。故①正确。
②如图,∵在△ABC中,∠C=900,∠B=300,∴∠CAB=600。
又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2=∠CAB=300,
∴∠3=900﹣∠2=600,即∠ADC=600。故②正确。
③∵∠1=∠B=300,∴AD=BD。∴点D在AB的中垂线上。故③正确。
④∵如图,在直角△ACD中,∠2=300,∴CD=AD。
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD,S△DAC=ACCD=ACAD。
∴S△ABC=ACBC=ACAD=ACAD。
∴S△DAC:S△ABC。故④正确。
综上所述,正确的结论是:①②③④,,共有4个。故选D。
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【题目】对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式,例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,请解答下列问题:
(1)写出图2中所表示的数学等式 。
(2)根据整式乘法的运算法则,通过计算验证上述等式。
(3)利用(1)中得到的结论,解决下面的问题:
若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,则a2+b2+c2= .
(4)小明同学用图3中x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形,则x+y+z= 。
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【题目】如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;
求证:(1)△BCQ≌△CDP;(2)OP=OQ.
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【题目】已知是边长为的等边三角形,动点以的速度从点出发,沿线段向点运动.
(1)如图甲,设点的运动时间为,那么为何值时,是直角三角形?
(2)若另一动点从点出发,沿射线方向运动,连接交于点,如果动点都以的速度同时出发.
①如图乙,设运动时间为,那么为何值时,是等腰三角形?
②如图丙,连接,请你猜想:在点的运动过程中,和的面积有什么关系?并说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,有△ABC和x=m直线.
(1)若A(-3,3),B (-3,1),C (-1,2),当m=1时,在图中作出△ABC关于直线x=m对称的图形,并直接写出,,的对应点,,的坐标;
(2)若又有点和点关于直线对称,那么,,,,之间有什么数量关系?(直接写出答案即可)
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【题目】如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,点E,F分别是AB,BC的中点.以下结论错误的是( )
A.△ABC是直角三角形
B.AF是△ABC的中位线
C.EF是△ABC的中位线
D.△BEF的周长为6
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【题目】下列说法:①已知直角三角形的面积为4,两直角边的比为1:2,则斜边长为;②直角三角形的最大边长为,最短边长为1,则另一边长为;③在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:5:6,则△ABC为直角三角形;④等腰三角形面积为12,底边上的高为4,则腰长为5,其中正确结论的序号是( )
A. 只有①②③ B. 只有①②④ C. 只有③④ D. 只有②③④
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【题目】九(3)班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛,在班里选取了若干名学生,分成人数相同的甲、乙两组,进行了四次“五水共治”模拟竞赛,成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图统计图.
根据统计图,解答下列问题:
(1)第三次成绩的优秀率是多少?并将条形统计图补充完整;
(2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数,方差,请通过计算说明那一组成绩优秀的人数较稳定?
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【题目】如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC;
(2)求证:△AGD∽△EGF;
(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求 的值.
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