Question

11．如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．

Answer 1

分析 （1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即可；
（2）首先根据题意画出图形：如图①，当0≤t≤$\frac{8}{3}$时，MC+BN=AN+BN=8；当$\frac{8}{3}$＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；4＜t$≤\frac{16}{3}$时，MB+NC=AN+CN=8；当$\frac{16}{3}$＜t≤8时，△BNM为等边三角形，由BN=BM可求得t的值．

解答 解：（1）由题意得：3t+2t=16，解得：t=$\frac{16}{5}$；
（2）①当0≤t≤$\frac{8}{3}$时，点M、N、D的位置如图1所示：

∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN．
∴∠MDC=∠ABC=60°
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠C=60°．
∴∠MDC=∠C．
∴MD=MC
∴MC+BN=AN+BN=8，即：3t+2t=8，t=$\frac{8}{5}$，
此时点D在BC上，且BD=$\frac{24}{5}$（或CD=$\frac{16}{5}$），
②当$\frac{8}{3}$＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③4＜t$≤\frac{16}{3}$时，点M、N、D的位置如图所2示：

∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN=AM，AM∥DN．
∴∠MDB=∠ACB=60°
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B=60°．
∴∠MDB=∠B．
∴MD=MB．
∴MB+NC=AN+CN=8，3t-8+2t-8=8，解得：t=$\frac{24}{5}$，
此时点D在BC上，且BD=$\frac{32}{5}$（或CD=$\frac{8}{5}$），
④当$\frac{16}{3}$＜t≤8时，点M、N、D的位置如图所3示：

则BN=16-2t，BM=24-3t，
由题意可知：△BNM为等边三角形，
∴BN=BM，即：2t-8=3t-16，解得t=8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．
答：运动了$\frac{8}{5}$或$\frac{24}{5}$时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD=$\frac{24}{5}$或$\frac{32}{5}$．

点评 本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．