Question

6．要求几个连续整数的和，例如：求1+2+3+4+5的和，我们可以采用如下方法：
设s=1+2+3+4+5 ①
把上式倒序排列得 s=5+4+3+2+1 ②
①与②两边分别相加得：2s=（1+5）+（2+4）+…+（5+1）=（1+5）×5
所以 s=$\frac{（1+5）×5}{2}$=15
这种求和的方法叫做倒序求和法
（1）方法运用：请你用上面方法求1+2+3+4…+99+100的和．
（2）问题解决：某校初一（2）班共有60名学生，放寒假当天60名学生每两人握手一次进行道别，那么全班同学共握手多少次？
（3）拓展延伸：如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，求第n个图有多少个的小正方形．

Answer 1

分析 （1）运用倒序求和法计算即可；
（2）根据题意可从第一个同学开始，如果要每两名同学都要握手，第一名同学则需要与剩下的59名同学握手即可，依此类推，握手的总次数为59+58+…+2+1，根据（1）的方法计算即可；
（3）观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可

解答 解：（1）设s=1+2+3+4…+99+100 ①
把上式倒序排列得 s=100+99+…+2+1 ②
①与②两边分别相加得：2s=（1+100）+（2+99）+…+（100+1）=（1+100）×100，
所以 s=$\frac{101×100}{2}$=5050．
（2）∵共有60名同学，若每两名同学互相握手一次，
∴第一名同学则需要与剩下的59名同学握手即可，依此类推，握手的总次数为59+58+…+2+1，
∴全班同学共握手$\frac{（59+1）×59}{2}$=1770（次）．
（3）第（1）个图有2个相同的小正方形，2=1×2，
第（2）个图有6个相同的小正方形，6=2×3，
第（3）个图有12个相同的小正方形，12=3×4，
…，
按此规律，第（n）个图有n（n+1）个相同的小正方形．

点评 本题主要考查了数字规律和图形规律问题，根据题干提供的数字规律和方法，类比拓展到实际问题和图形问题，抓住问题的本质善于联系是解决此类问题的关键．此类题目对同学们的能力要求较高，在平时的学习中要不断积累．