Question

【题目】AB是的直径，点C是上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足．

（1）如图①，求证：直线MN是的切线；

（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作于点H，直线DH交于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且，若的半径为1，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得，由可得，进一步即可推出，从而可得结论；

（2）如图②，由已知条件易求出AC的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得∠1=∠3，根据余角的性质可得，进而可得∽，于是根据相似三角形的性质变形可得，进一步即可求出结果．

解：（1）证明：连接OC，如图，

∵AB是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，即，

∴MN是的切线；

（2）如图②，∵，即，∴，

∵∠2=∠3，∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∵，2

∴∠1+∠AGC=90°，

∵∠3+∠ECD=90°，

∴，

又∵，

∴∽，

∴，

∴．