Question

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上，边AB、OA（AB＞OA）的长分别是方程x²-11x+24=0的两个根，D是AB上的点，且满足$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{5}$．
（1）矩形OABC的面积是24，周长是22．
（2）求直线OD的解析式；
（3）点P是射线OD上的一个动点，当△PAD是等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据边AB、OA（AB＞OA）的长分别是方程x²-11x+24=0的两个根，即可得到AO=3，AB=8，进而得出矩形OABC的面积以及矩形OABC的周长；
（2）根据$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{5}$，AB=8，可得AD=3，再根据AO=3，进而得出D（-3，3），再根据待定系数法即可求得直线OD的解析式；
（3）根据△PAD是等腰三角形，分4种情况讨论：当AD=AP₁=3时，当DA=DP₂=3时，当AP₃=DP₃时，当DA=DP₄=3时，分别根据等腰直角三角形的性质，求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵x²-11x+24=0，
∴（x-3）（x-8）=0，
∴x₁=3，x₂=8，
∵AB、OA（AB＞OA）的长分别是方程x²-11x+24=0的两个根，
∴AO=3，AB=8，
∴矩形OABC的面积=3×8=24，矩形OABC的周长=2（3+8）=22，
故答案为：24，22；

（2）∵$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{5}$，AB=8，
∴AD=3，
又∵AO=3，
∴D（-3，3），
设直线OD解析式为y=kx，则
3=-3k，即k=-1，
∴直线OD的解析式为y=-x；

（3）∵AD=AO=3，∠DAO=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ADO=45°，DO=3$\sqrt{2}$，
根据△PAD是等腰三角形，分4种情况讨论：
①如图所示，当AD=AP₁=3时，点P1的坐标为（0，0）；
②如图所示，当DA=DP₂=3时，过P₂作x轴的垂线，垂足为E，则
OP₂=3$\sqrt{2}$-3，△OEP₂是等腰直角三角形，
∴P₂E=OE=$\frac{3\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}}$=3-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴点P₂的坐标为（-3+$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，3-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$）；
③如图所示，当AP₃=DP₃时，∠DAP₃=∠ADO=45°，
∴△ADP₃是等腰直角三角形，
∴DP₃=$\frac{AD}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴P₃O=3$\sqrt{2}$-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
过P₃作x轴的垂线，垂足为F，则△OP₃F是等腰直角三角形，
∴P₃F=OF=$\frac{3}{2}$，
∴点P₃的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
④如图所示，当DA=DP₄=3时，P₄O=3+3$\sqrt{2}$，
过P₄作x轴的垂线，垂足为G，则△OP₄G是等腰直角三角形，
∴P₄G=OG=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$+3，
∴点P₄的坐标为（-3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）；
综上所述，当△PAD是等腰三角形时，点P的坐标为（0，0）、（-3+$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，3-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$）、（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）、（-3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及待定系数法求一次函数解析式的综合应用，解题时注意：当△PAD是等腰三角形时，需要分情况讨论，解题时注意分类思想的运用．解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．