Question

19．如图，点P是菱形ABCD对角线上的一点，连接DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点C，且∠DAC=∠BAC．
（1）求证：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，且PD=6，求PF的长．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质得∠DAP=∠PAB，AD=AB，则利用“SAS”可判断△APB≌△APD；
（2）由△APB≌△APD得到DP=PB，∠ADP=∠ABP，则可利用“ASA证明△DFP≌△BEP，所以PF=PE，DF=BE，再利用GD∥AB，利用平行线分线段成比例定理得到$\frac{DF}{AF}$=$\frac{DG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，由比例性质得$\frac{DF}{AD}$=$\frac{1}{3}$，利用等线段代换得$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，于是有$\frac{DG}{BE}$=$\frac{3}{2}$，然后利用DG∥BE得到$\frac{DP}{PE}$=$\frac{DG}{BE}$=$\frac{3}{2}$，则利用比例性质可计算出PE=$\frac{2}{3}$DP=4，从而得到PF=PE=4．

解答 （1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
在△APB和△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△APD（SAS）；
（2）解：∵△APB≌△APD，
∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，
在△DFP和△BEP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDP=∠EBP}\\{DP=BP}\\{∠FPD=∠EPB}\end{array}\right.$，
∴△DFP≌△BEP（ASA），
∴PF=PE，DF=BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴GD∥AB，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{DG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DG}{BE}$=$\frac{3}{2}$，
∵DG∥BE，
∴$\frac{DP}{PE}$=$\frac{DG}{BE}$=$\frac{3}{2}$，
∴PE=$\frac{2}{3}$DP=$\frac{2}{3}$×6=4，
∴PF=PE=4．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形三角形的判定与性质．