Question

9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D是BC的中点，求∠DAB的余弦值．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，先解Rt△DEB，得出BD=2DE=2k，由点D是BC的中点，得到BD=CD=2k，BC=2BD=4k．再解Rt△ABC，求出AC=BC•tanB═$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k．在Rt△ABD中，利用勾股定理得出AD=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$k，AE=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$k然后在Rt△ADE中，利用余弦函数的定义即可求解．

解答 解：过D作DE⊥AB于E，
设DE=k．
在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=30°，
∴BD=2DE=2k，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=2k，BC=2BD=4k．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AC=BC•tanB=4k×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k．
在Rt△ABD中，∵∠C=90°，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}k）^{2}+（2k）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$k．
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{21}}{3}k）^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$k
在Rt△ADE中，∵∠DEA=90°，
∴cos∠DAB=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}k}{\frac{2\sqrt{21}}{3}k}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，关键是正确作出辅助线进行求解，难度适中．