Question

1．已知：在△ABC中，AC=1.5，BC=2，AB=2.5，E、F均在直线AB上，且AE=AC，∠ECF=45°，则AF的长为0.5或4.5．

Answer 1

分析 分两种情况：
解法一：①当E在BA的延长线上时，如图1，作辅助线，构建直角三角形，先根据勾股定理列等式求AH的长，从而继续求CH、BH的长，从而可以求EC的长，设FN=a，则EN=2a，可求FN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，由此求EF的长，得出AF的长；
②当E在线段AB上时，如图2，同样的方法可求得AF的长．
解法二，两种情况都设某一个角为x°，分别表示其它角，利用等角对等边，得出线段的长，计算AF的长．

解答 解法一：分两种情况：
①当E在BA的延长线上时，如图1，
过C作CH⊥AB于H，
设AH=x，则BH=2.5-x，
由勾股定理得：CH²=AC²-AH²=1.5²-x²，
CH²=BC²-BH²=2²-（2.5-x）²，
∴1.5²-x²=2²-（2.5-x）²，
x=0.9，
∴AH=0.9，
∴HE=AH+AE=0.9+1.5=2.4，
CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{1．{5}^{2}-0．{9}^{2}}$=1.2，
在Rt△ECH中，EC=$\sqrt{C{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{1．{2}^{2}+2．{4}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
过F作FN⊥EC于N，过A作AT⊥EC于T，
由tan∠E=$\frac{CH}{EH}=\frac{FN}{EN}=\frac{1.2}{2.4}=\frac{1}{2}$，
设FN=a，则EN=2a，
∵∠ECF=45°，
∴△FCN是等腰直角三角形，
∴FN=NC=a，
∴EC=EN+CN=2a+a=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在△EFN中，FN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=$\sqrt{F{N}^{2}+E{N}^{2}}$=2，
∴AF=EF-AE=2-1.5=0.5；
②当E在线段AB上时，如图2，
过C作CH⊥AB于H，
同理得：AH=0.9，CH=1.2，
∵AC=AE=1.5，
∴EH=AE-AH=1.5-0.9=0.6，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{1．{2}^{2}-0．{6}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠ECH=$\frac{EH}{CH}=\frac{1}{2}$，
过F作FN⊥EC于N，
∵∠ECF=45°，
∴△FCN是等腰直角三角形，
∴FN=CN，
∵∠FNC=∠EHC=90°，
∠NEF=∠HEC，
∴∠NFE=∠ECH，
∴tan∠NFE=$\frac{EN}{FN}=\frac{1}{2}$，
∴FN=CN=2EN，
∴CE=EN=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
由勾股定理得：EF=$\sqrt{F{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{6\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=3，
∴AF=AE+EF=1.5+3=4.5，
综上所述，AF的长为0.5或4.5；
解法二：分两种情况：
①当E在BA的延长线上时，如右图1，
设∠E=x°，则∠ACE=x°，∠ACF=45°-x°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°-（45°-x°）=45°+x°，
∵∠CFB=∠E+∠ECF=45°+x°，
∴∠BCF=∠CFB，
∴BC=BF=2，
∴AF=AB-BF=2.5-2=0.5；
②当E在线段AB上时，如右图2，
设∠AEC=x°，则∠ACE=x°，
∴∠BCE=90°-x°，
∴∠BCF=∠ECF-∠BCE=45°-（90°-x°）=x°-45°，
∵∠F=x°-45°，
∴∠F=∠BCF，
∴BC=BF=2，
∴AF=AB+BF=2.5+2=4.5，
故答案为：0.5或4.5．

点评 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、同角的三角函数，熟练掌握勾股定理列方程是关键，恰当地作辅助线是本题的突破口，有难度，同时要注意“E、F均在直线AB上”，根据数形结合采用分类讨论的思想解决问题．