Question

11．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，AH是△ABC的高，AH=4 cm，BC=8 cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD=3tcm，CE=tcm；
（2）当t为多少时，△ABD的面积为12 cm²？
（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据路程=速度×时间，即可得出结果；
（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值即可；
（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．

解答 解：（1）根据题意得：CD=3tcm，CE=tcm；
故答案为：3t，t；
（2）∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AH=12，AH=4，
∴AH×BD=24，
∴BD=6．
若D在B点右侧，则CD=BC-BD=2，t=$\frac{2}{3}$；
若D在B点左侧，则CD=BC+BD=14，t=$\frac{14}{3}$；
综上所述：当t为$\frac{2}{3}$s或$\frac{14}{3}$s时，△ABD的面积为12 cm²；
（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动4秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：如图所示
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=8-3t
∴t=8-3t，
∴t=2，
∵在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠B=∠ACE=45°}&{\;}\\{BD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=3t-8，
∴t=3t-8，
∴t=4，
∵在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠ABD=∠ACE=135°}&{\;}\\{BD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及面积的计算；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质，注意分类讨论．