Question

【题目】如图，在内部做，平分，，，，点为的中点：动点由出发，沿运动，速度为每秒5个单位，动点由出发，沿运动，速度为每秒8个单位，当点到达点时，两点同时停止运动；过、、作；

（1）判断的形状为________，并判断与的位置关系为__________；

（2）求为何值时，与相切？求出此时的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；

（3）直接写出的内心运动的路径长为__________；（注：当、、重合时，内心就是点）

（4）直接写出线段与有两个公共点时，的取值范围为__________．

（参考数据：，，，，）

Answer 1

【答案】（1）△AEF为等腰三角形；DA与相切；（2）劣弧长度＞半径；（3）的内心运动的路径长为；（4）线段与有两个公共点时，的取值范围为.

【解析】

（1）过点E作EH⊥AF于点H，连接OH，OA，证明△AEH∽△ABC，得到AH=FH，即可证明为等腰三角形；根据圆周角和圆心角证明∠DAC=∠AOE，即可证明∠DAO=90°；

（2）连接EO，AO，OF，交AC于点H，根据相切知四边形EHCN为矩形，从而求出t，在Rt△AOH中，根据勾股定理求出半径，然后求出∠AOH的度数即可比较；

（3）得到的内心运动的路径长为AG，然后根据面积求出内切圆半径，从而求出AG长；

（4）分别讨论两种极限位置，①当MN与相切时，②当N在圆上时，即ON为半径，分别求出t的值，即可确定t的取值范围.

解：（1）过点E作EH⊥AF于点H，连接OH，OA，

∵，，，

∴，

设运动时间为t，

∴AE=5t，AF=8t，

∵EH⊥AF，

∴△AEH∽△ABC，

∴，即，

∴，

∴FH=4t，

∴AH=FH，

∴△AEF为等腰三角形；

∴E为的中点，

∴H为AF的中点，

∴OH垂直AC，

∴∠OAF+∠AOE=90°，

∴∠AOE=2∠EFA，

∵AB平分∠DAC，∠EAC=∠EFA，

∴∠DAC=∠AOE，

∴∠DAC+∠AOE=90°，

∴∠DAO=90°，

∴DA与相切；

（2）连接EO，AO，OF，交AC于点H，

由（1）知EH⊥AC，

∵EN与相切，

∴∠OEN=90°，

∴四边形EHCN为矩形，

在Rt△AHE中，

，

∴NC=EH=3t，

∵N是BC中点，

∴BC=6t，

∵BC=6，

∴6t=6，

解得：t=1，

∴AH=4，EH=3，

设半径为x，

∴OH=x-3，

在Rt△AOH中，，

∴，

解得：，

∴，

∴∠AOH=74°，

∴∠AOH＞60°，

∴AE＞半径，

∴劣弧长度＞半径；

（3）当E运动到B点时，

t=10÷5=2，

∴AF=2×8=16，

此时△AEF的内心记为G，

当A、E、F三点重合时，内心为A，

∴的内心运动的路径长为AG，

作GP⊥AE于点P，GQ⊥EF于点Q，

S△AEF=，

设CG=a，

∴S△AEF=S△AGF+S△AEG+S△FEG，

∴，

解得：，

在Rt△ACG中，

，即，

∴AG=，

∴的内心运动的路径长为；

（4）分别讨论两种极限位置，

①当MN与相切时，

由（2）知，t=1；

②当N在圆上时，即ON为半径，如图所示：

则OE=ON，

∴AH=4t，EH=3t，

设半径为x，

则在Rt△AOH中，

，

解得：，

∴CK=OH=,

在Rt△OKN中，

，

∴，

解得：，

∴线段与有两个公共点时，的取值范围为.