【题目】对于平面内的点 P 和图形 M,给出如下定义:以点 P 为圆心,以 r 为半径作⊙P,使得图形 M 上的所有点都在⊙P 的内部(或边上),当 r 最小时,称⊙P 为图形 M 的 P 点 控制圆,此时,⊙P 的半径称为图形 M 的 P 点控制半径.已知,在平面直角坐标系中, 正方形 OABC 的位置如图所示,其中点 B(2,2)
(1)已知点 D(1,0),正方形 OABC 的 D 点控制半径为 r1,正方形 OABC 的 A 点 控制半径为 r2,请比较大小:r1 r2;
(2)连接 OB,点 F 是线段 OB 上的点,直线 l:y= x+b;若存在正方形 OABC 的 F点控制圆与直线 l 有两个交点,求 b 的取值范围.
【答案】(1)<;(2).
【解析】
(1)根据控制半径的定义求出r1和r2即可解决问题;
(2)如图所示,圆O和圆B分别是以O,B为圆心,以OB长为半径的圆,分别求出直线l与圆O相切,直线l与圆B相切时的b值,得到两种极限情况下的b值,即可得到b 的取值范围.
解:(1)由题意得:r1=BD=CD=,r2=AC=,
∴r1<r2;
(2)如图所示,圆O和圆B分别是以O,B为圆心,以OB长为半径的圆,
当直线l:与圆O相切于点M时,连接OM,可得OM与直线l垂直,
则直线OM的解析式为:,
设M(x,),
∵OM=OB,
∴OM=,
∴或(舍去),
∴M(,),
将(,)代入得:,
解得:,
当直线l:与圆B相切于点N时,连接BN,
同理可求出此时,
∴b的取值范围为:.
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【题目】如图,将沿着过中点的直线折叠,使点落在边上的,称为第次操作,折痕到的距离记为;还原纸片后,再将沿着过中点的直线折叠,使点落在边上的处,称为第次操作,折痕到的距离记为;按上述方法不断操作下去…,经过第次操作后得到的折痕,到的距离记为,若,则的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】某市对即将参加中考的4000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查,绘制出频数分布表和不完整的频数分布直方图.请根据图表信息回答下列问题:
初中毕业生视力抽样调查频数分布表
视力 | 频数(人) | 频率 |
4.0≤x<4.3 | 20 | 0.1 |
4.3≤x<4.6 | 40 | 0.2 |
4.6≤x<4.9 | 70 | 0.35 |
4.9≤x<5.2 | a | 0.3 |
5.2≤x<5.5 | 10 | b |
(1)本次调查样本容量为 ;
(2)在频数分布表中,a= ,b= ,并将频数分布直方图补充完整;
(3)若视力在4.9以上(含4.9)均属标准视力,根据上述信息估计全区初中毕业生中达到标准视力的学生约有多少人?
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【题目】在平面直角坐标系 xOy 中,将点 A(2,4)向下平移 2 个单位得到点 C,反比例函数y (m≠0)的图象经过点 C,过点 C 作 CB⊥x 轴于点 B
(1)求 m 的值;
(2)一次函数 y=kx+b(k<0)的图象经过点 C,交 x 轴于点 D, 线段 CD,BD,BC 围成的区域(不含边界)为 G; 若横、纵坐标都是整数的点叫做整点
①b=3 时,直接写出区域 G 内的整点个数
②若区域 G 内没有整点,结合函数图象,确定 k 的取值范围
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【题目】已知二次函数在和时的函数值相等.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A,求m和k的值;
(3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移个单位后得到的图象记为C,同时将(2)中得到的直线向上平移n个单位.请结合图象回答:当平移后的直线与图象G有公共点时,n的取值范围.
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【题目】如图,在内部做,平分,,,,点为的中点:动点由出发,沿运动,速度为每秒5个单位,动点由出发,沿运动,速度为每秒8个单位,当点到达点时,两点同时停止运动;过、、作;
(1)判断的形状为________,并判断与的位置关系为__________;
(2)求为何值时,与相切?求出此时的半径,并比较半径与劣弧长度的大小;
(3)直接写出的内心运动的路径长为__________;(注:当、、重合时,内心就是点)
(4)直接写出线段与有两个公共点时,的取值范围为__________.
(参考数据:,,,,)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,点D是AC边的中点,E是直线BC上一动点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接AF、EF,在点E的运动过程中线段AF的最小值为_____.
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