【题目】如图,是等边三角形,
,点
是射线
上任意点(点
与点
不重合),连接
,将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
,连接
并延长交直线
于点
.
(1)如图①,猜想的度数是__________;
(2)如图②,图③,当是锐角或钝角时,其他条件不变,猜想
的度数,并选取其中一种情况进行证明;
(3)如图③,若,
,
,则
的长为__________.
【答案】(1);(2)
,证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)根据等边三角形的性质可得,
,然后根据旋转的性质可得
,
°,从而得出
,然后利用SAS即可证出
,最后利用对顶角相等和三角形的内角和定理即可求出结论;
(2)根据等边三角形的性质可得,
,然后根据旋转的性质可得
,
°,从而得出
,然后利用SAS即可证出
,最后利用对顶角相等和三角形的内角和定理即可求出结论;
(3)设EC和FO交于点G,根据等边三角形的性质可得,
,然后根据旋转的性质可得
,
°,从而得出
、∠DCG=45°、∠BEC=30°,然后利用SAS即可证出
,从而可求∠FGC=90°,然后根据等腰直角三角形的性质、勾股定理和30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论.
解:(1) ∵是等边三角形,
∴,
.
∵线段绕点
顺时针旋转60°得到线段
,
∴,
°.
∴,
即.
在和
中
∴.
∴.
又,
,
.
∴.
(2).
证明:如图②,是等边三角形,
∴,
.
∵线段绕点
顺时针旋转60°得到线段
,
∴,
°.
∴,
即.
在和
中
∴.
∴.
又,
,
.
∴.
(3)设EC和FO交于点G
∵是等边三角形,
∴,
.
∵线段绕点
顺时针旋转60°得到线段
,
∴,
°.
∴,
即.
∴∠DCG=∠ECF-∠DCF=45°
∵
∴∠BEC=180°-∠ABC-∠BCE=30°
在和
中
∴.
∴=30°
∴∠FGC=180°-∠F-∠ECF=90°
∴△CGD为等腰直角三角形,CG= DG
∴CG 2+DG2=CD2
即2CG2=62
解得:CG= DG=
在Rt△FGC中,FC=2CG =,FG=
∴DF=FG-DG=-
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【题目】 在正方形ABCD中.
(1)如图1,点E、F分别在BC、CD上,AE、BF相交于点O,∠AOB=90°,试判断AE与BF的数量关系,并说明理由;
(2)如图2,点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上,EG、FH相交于点O,∠GOH=90°,且EG=7,求FH的长;
(3)如图3,点E、F分别在BC、CD上,AE、BF相交于点O,∠AOB=90°,若AB=5,图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4:5,求△ABO的周长.
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【题目】4件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品.
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,求抽到的是不合格品的概率;
(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测,求抽到的都是合格品的概率;
(3)在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检测,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?
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【题目】苏科版九年级下册数学课本65页有这样一道习题:
如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.
(1)△ACD与△CBD相似吗?为什么?
(2)图中还有几对相似三角形?是哪几对?
复习时,小明提出了新的发现:“利用△ACD∽△CBD∽△ABC可以进一步证明:
①CD2=ADBD,②BC2=BDAB,③AC2=ADAB.”
(1)请你按照小明的思路,选择①、②、③中的一个进行证明;
(2)小亮研究“小明的发现”时,又惊喜地发现,利用“它”可以证明“勾股定理”,请你按照小亮思路完成这个证明;
(3)小丽也由小明发现的“CD2=ADBD”,进一步发现:“已知线段a、b,可以用尺规作图作出线段c,使c2=ab”,请你完成小丽的发现.(不要求写出作法,请保留作图痕迹)
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【题目】在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,现将纸片折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,连接DF.
(1)说明△BEF是等腰三角形;
(2)求折痕EF的长.
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【题目】如图是一个长方体,它的长、宽、高分别为、
、
.
和
是这个长方体上两个相对的顶点,点
处有一只蚂蚁,想到点
处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着长方体表面爬行到点
的最短路程为__________
.
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【题目】某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫,甲种款型共用了7800元,乙种款型共用了6400元,甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍,甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.
(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件?
(2)商店进价提高60%标价销售,销售一段时间后,甲款型全部售完,乙款型剩余一半,商店决定对乙款型按标价的五折降价销售,很快全部售完,求售完 这批T恤衫商店共获利多少元?
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