Question

已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）求证：△AMF∽△ADE；
（3）观察判断BF与AE有怎样的位置关系？

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠D=90°，AB=CD=AD，
∵CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；

（2）∵△ABF≌△DAE，
∴∠AFM=∠AED，
∵∠MAF=∠DAE，
∴△AMF∽△ADE；

（3）BF⊥AE．
理由：∵△AMF∽△ADE，
∴∠AMF=∠D=90°，
∴BF⊥AE．
分析：（1）由四边形ABCD是正方形，易证得∠BAF=∠D=90°，AB=CD=AD，又由CE=DF，可得AF=DE，利用SAS即可判定△ABF≌△DAE；
（2）由（1），可得∠AFM=∠AED，又由∠DAE是公共角，即可判定△AMF∽△ADE；
（3）由相似三角形的对应角相等，即可得∠AMF=∠D=90°，则可得BF⊥AE．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．