Question

已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）如图（1），CD平分∠ACB交AB于点D，BE⊥CD于点E，延长BE、CA相交于点F，请猜想线段BE与CD的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），点F在BC上，∠BFE=

1

2

∠ACB，BE⊥FE于点E，AB与FE交于点D，FH∥AC交AB于H，延长FH、BE相交于点G，求证：BE=

1

2

FD；
（3）如图（3），点F在BC延长线上，∠BFE=

1

2

∠ACB，BE⊥FE于点E，FE交BA延长线于点D，请你直接写出线段BE与FD的数量关系（不需要证明）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先利用AAS证明△ABF≌△ACD，得到BF=CD，再利用ASA证明△BCE≌△FCE，从而得到BE=FE=

1

2

BF，进而得出BE=

1

2

CD；
（2）利用“等角对等边”证明BH=FH，再通过证明△BFE≌△GFE，得到BE=

1

2

GB，再证明△BHG≌△FHD，得到BG=FD，从而得到BE=

1

2

FD；
（3）利用相同的方法可得BF和FD的关系．

解答：解：（1）猜想：BE=

1

2

CD．
理由：∵BE⊥CD，∠BAC=90°，∠BDE=∠ADC，
∴∠ABF=∠ACD，∠BAF=∠BAC．
在△ABF和△ACD中，

∠BAC=∠BAF ∠ABF=∠ACD AB=AC

，
∴△ABF≌△ACD（AAS）．
∴BF=CD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCE=∠FCE．
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠FEC=90°．
在△BCE和△FCE中，

∠BEC=∠FEC EC=EC ∠BCE=∠FCE

，
∴△BCE≌△FCE（ASA）．
∴BE=FE=

1

2

BF．
∴BE=

1

2

CD．
（2）证明：∵AB=AC，FH∥AC
∴∠ABC=∠ACB，∠BFH=∠ACB．
∴∠BHF=∠BAC=90°．∠ABC=∠BFH．
∴BH=FH．
∵∠BFE=

1

2

∠ACB，
∴∠EFG=

1

2

∠ACB．
∴∠BFE=∠EFG．
∵BE⊥FE，
∴∠BEF=∠GEF．
在△BFE和△GFE中，

∠BEF=∠GEF EF=EF ∠BFE=∠EFG

，
∴△BFE≌△GFE（ASA）．
∴BE=GE．
∴BE=

1

2

GB．
在△BHG和△FHD中，

∠BHG=∠BHF=90° BH=FH ∠GBH=DFH

，
∴△BHG≌△FHD（ASA）．
∴BG=FD，
∴BE=

1

2

FD．
（3）BE=

1

2

FD．
证明：过点F作GF∥AC，交BE，AD延长线于点G，H
∴∠BFG=∠ACB
∵∠BFE=

1

2

∠ACB
∴∠BFE=∠GFE
在△FBE和△FBG中

∠GEF=∠GFE=90° EF=EF ∠EFB=∠EFG

∴△FBE≌△FBG（ASA）
∴∠EFB=∠EFG
BE=EG=

1

2

BG
∵FG∥AC
∴∠BAC=∠BHF=90°
在四边形GEDH中
∠G+∠EDG=180°
又∵∠HDF+∠EDH=180°
∴∠HDF=∠G
在△DHF和△GHB中

∠HDF=∠G ∠BAC=∠BHF BG=GF

∴△DHF≌△GHB（AAS）
∴BG=DF
∴BE=

1

2

FD．

点评：本题考查了全等三角形、等腰三角形的性质和判定，解题的关键通过证明三角形全等寻找线段之间的关系，另外在遇到证明或探究线段之间的关系时，往往考虑等腰三角形的性质以及三角形的中位线定理等有关线段倍分的定理．