Question

【题目】如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，顶点的坐标为，对称轴交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交抛物线的对称轴于点．

（1）求出的值．

（2）点为抛物线上一个动点，当点关于直线的对称点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的横坐标．

Answer 1

【答案】(1) a=-1，b=2，c=3；（2）点P的坐标为（1,4）或（ ）．

【解析】

（1）由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，再根据C的坐标利用待定系数法即可求出a,b,c的值．

（2）过点E作EN⊥直线DE，交x轴于点N，则△DOE∽△DEN，利用相似三角形的性质可求出点N的坐标，由点E、N的坐标利用待定系数法可求出直线E N的解析式；设点P关于直线的对称点落在x轴上Q点处，连接PQ交DE于点R，设直线PQ的解析式为y=-2x+m，利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点Q的坐标，联立直线PQ和直线DE的解析式组成的方程组，可求出点R的坐标，进而可得出点P的坐标，由点P的坐标利用二次函数图像上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，可求m的值，再将其代入点P的坐标中即可解答．

解：（1）∵抛物线顶点F的坐标为（1,4），

∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+8将C（0,3）代入y=a（x-1）2+8，得：3=a+4，

解得：a=-1，

∴抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+8，即y=-2x2+4x+6，

∴a=-1，b=2，c=3

(2)过点E作EN⊥直线DE，交x轴于点N；如图所示

当x=0时，y=x+1=1，

∴点E的坐标为（0,1），

∴OE=1，DE=

∵∠DOE=∠DEN=90°，∠ODE=∠EDN，

∴△DOE∽△DEN

∴,即

∴DN=

∴点N的坐标为（，0）

∵点E的坐标为（0,1），

∴线段EN所在直线的解析式为y=-2x+1（可利用待定系数法求出）

设点P关于直线y=x+1的对称点落在x轴上Q点处，连接PQ交DE于点；

R设直线PQ的解析式为y=-2x+m

当y=0时，-2x+m=0解得：x=

∴点Q的坐标为（m，0）

联立直线PQ和直线DE的解析式成方程组，得：

解得：

∴点R的坐标为（ ，）

∴点R为线段PQ的中点，

∴点P的坐标为（ ，）

3m-82m+8105

∵点P在抛物线y=-2x2+4x+6，的图象上，

∴，整理，得：9m2-68m+84=0

解得：

∴点P的坐标为（1,4）或（ ）．