Question

5．已知关于x的一元二次方程ax²-2（a-1）x+a-1=0有实数根．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x₁、x₂，且满足|x₁-x₂|=4，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=4[-2（a-1）]²-4a（a-1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-$\frac{2（a-1）}{a}$，x₁•x₂=$\frac{a-1}{a}$，由|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4，整体代入得到关于a的一元二次方程，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）根据题意得△=[-2（a-1）]²-4a（a-1）≥0，且a≠0，
解得a≤1，
∴实数a的取值范围是a≤1且a≠0；

（2）根据题意得x₁+x₂=-$\frac{2（a-1）}{a}$，x₁•x₂=$\frac{a-1}{a}$，
∵|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4，
解得：a=$\frac{-1±\sqrt{17}}{8}$，
∵a≤1，
∴a₁=$\frac{-1+\sqrt{17}}{8}$，a₂=$\frac{-1-\sqrt{17}}{8}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．