Question

6．如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，-3），反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象经过点C，一次函数y₂=ax+b的图象经过点A、C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直接写出y₂＞y₁时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，-3），再将C点坐标代入反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入y=ax+b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；
（2）求得反比例函数和一次函数的交点坐标，根据图象即可求得；
（3）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入y=-$\frac{15}{x}$，即可求出P点的坐标．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，-3），
∴AB=5，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点C的坐标为（5，-3）
∵反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象经过点C，
∴-3=$\frac{k}{5}$，解得k=-15，
∴反比例函数的解析式为y₁=-$\frac{15}{x}$；
∵一次函数y₂=ax+b的图象经过点A，C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{5a+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y₂=-x+2；

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{15}{x}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴交点坐标为（5，-3），（-3，5），
由图象知：当x＜-3或0＜x＜5时，y₂＞y₁；

（3）设P点的坐标为（x，y），
∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，
∴$\frac{1}{2}$×OA•|x|=5²，
∴$\frac{1}{2}$×2|x|=25，解得x=±25．
当x=25时，y=-$\frac{15}{25}$=-$\frac{3}{5}$，
当x=-25时．y=$\frac{15}{25}$=$\frac{3}{5}$，
∴P点的坐标为（25，-$\frac{3}{5}$）或（-25，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键．