Question

1．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，过B₁做B₁B₂∥BC交AB于B₂，作B₂B₃平分∠AB₂B₁交AC于B₃，过B₃作B₃B₄∥BC交AB于B₄，…则线段B₁B₂的长度为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，线段B_2n-1B_2n的长度为（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）^n-2．

Answer 1

分析 因为过B₁作B₁B₂∥BC交AB于B₂，于是得到△AB₂B₁∽△ABC，得到对应边对应成比例，因为AB=AC=m，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，所以△BCB₁和△B₂B₁B是等腰三角形，根据余弦定理，可求出BC的长，根据相似三角形对应线段成比例，可求出B₂B₁的长，同理，可求得线段B_2n-1B_2n的长度．

解答 解：∵AB=AC=1，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，
∴△BCB₁和△B₂B₁B是等腰三角形，
∵过B₁作B₁B₂∥BC交AB于B₂，
∴$\frac{A{B}_{2}}{AB}$=$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{BC}$，
∵BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos36°，
∴BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
设B₂B₁是x，则B₂B是x．
∴$\frac{1-x}{1}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$，
∴x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
即：B₁B₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．
同理可求出B_2n-1B_2n=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）^n-2．
故答案为：$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）^n-2．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质，关键是知道相似三角形的对应线段成比例，以及余弦定理求出BC的长，找出规律求出值．