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    9．如图，反比例函数y=$\frac{24}{x}$（x＞0）的图象经过矩形OABC的顶点B（m+2，m），点P从原点O出发沿线段OC向点C运动，点R从点B出发沿线段BA向点A运动，点P、R速度均为每秒1个单位，点Q从O出发沿折线OA→AB向点B运动，点S从点B出发沿折线BC→CO向点O运动，点Q、S速度均为每秒2个单位，设P、Q、R、S四点同时出发，运动时间为t秒（0＜t≤5）
    （1）求出OA、OC的长；
    （2）当0＜t＜2时，求证：四边形PQRS是平行四边形；
    （3）当t为何值时，四边形PQRS是菱形，当t为何值时，四边形PQRS是矩形．

    分析 （1）根据待定系数法，可得关于m的方程，根据解方程，可得B点坐标，根据矩形的性质，可得答案；
    （2）根据全等三角形的判定与性质，可得PQ与RS的关系，QR与PS的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；
    （3）分类讨论：0＜t＜2，2≤t＜5时，根据有一组邻边相等的平行四边形，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
    根据矩形的判定，可得可得OP=AQ，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

    解答 解：（1）将B点坐标代入反比例函数解析式，得
    m=$\frac{24}{m+2}$．
    化简，得m2+2m-24=0，
    解得m=4，m=-6（不符合题意舍），
    m+2=6，即B（6，4）．
    由矩形OABC，得OC=AB=6，
    OA=BC=4；
    （2）证明：∵矩形OABC，
    ∴∠O=∠A=∠B=∠C=90°．
    ∵OP=BR=t，OQ=BS=2t，
    在Rt△OPQ和Rt△BRS中，
    $\left\{\begin{array}{l}{OP=BR}\\{∠O=∠B}\\{OQ=BS}\end{array}\right.$，
    ∴Rt△OPQ≌Rt△BRS（SAS），
    ∴PQ=RS；
    同理RQ=PS，
    ∴四边形PQRS是平行四边形；
    （3）当0＜t＜2时，
    如图1，
    ∵OP=BR=t，OQ=2t，
    ∴AR=6-t，AQ=4-2t．
    四边形PQRS是平行四边形，
    PQ=RS时，四边形PQRS是菱形，
    即t2+（2t）2=（4-2t）2+（6-t）2，
    解得t=$\frac{13}{7}$；
    当2＜t＜5时，如图2，
    PD=t-（2t-4），QD=4，PS=6-t-（2t-4），
    由勾股定理，得
    PQ2=（4-t）2+42，
    当PS=PQ时，即PS2=PQ2时，四边形PQRS是菱形，
    （4-t）2+42=（10-3t）2．
    解得t=$\frac{13+\sqrt{33}}{4}$，t=$\frac{13-\sqrt{33}}{4}$＜2（不符合题意，舍），
    综上所述：当t=$\frac{13}{7}$，t=$\frac{13+\sqrt{33}}{4}$时，四边形PQRS是菱形；
    当2＜t＜5时，如图3，
    ，
    由点P从原点O出发沿线段OC向点C运动，点P速度均为每秒1个单位，点Q从O出发沿折线OA→AB向点B运动，点Q速度均为每秒2个单位，得
    OP=t，OA+AQ=2t．
    由PQRS为矩形，得
    OP=AQ即t=2t-4．
    解得t=4，
    当t=4时，四边形PQRS是矩形．

    点评 本题考查了反比例函数综合题，（1）利用待定系数法得出关于m的方程是解题关键，又利用了矩形的性质；（2）利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定；（3）利用了菱形的判定，分类讨论是解题关键，利用了矩形的判定．

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