Question

16．如图，直线y=2x与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点A，将直线y=2x向左平移两个单位后与双曲线y=$\frac{k}{x}$的另一分支交于点B，与x轴交于点C，已知$\frac{BC}{OA}$=$\frac{1}{2}$．那么k=32．

Answer 1

分析 作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F，根据平移得到C点坐标为（2，0），再证明Rt△EOA∽Rt△FCB，利用相似比得到OE=2CF，AE=2BF，设CF=t，则OE=2t，OF=2+t，然后表示A点坐标（2t，4t），B点坐标（-2-t，-2t），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到2t•4t=（-2-t）•（-2t），解得t₁=0（舍去），t₂=2，于是A点坐标为（4，8），最后把A点坐标代入y=$\frac{k}{x}$即可确定k的值．

解答 解：作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F，如图，
∵直线y=2x向左平移两个单位后得到直线BC，
∴C点坐标为（2，0），
∵OA∥BC，
∴∠AOE=∠BCF，
∴Rt△EOA∽Rt△FCB，
∴$\frac{OA}{BC}$=$\frac{OE}{CF}$=$\frac{AE}{BF}$=2，
∴OE=2CF，AE=2BF，
设CF=t，则OE=2t，OF=2+t，
把x=2t代入y=2x，得y=4t，
即A点坐标为（2t，4t），
∴BF=$\frac{1}{2}$AE=2t，
∴B点坐标为（-2-t，-2t），
∴2t•4t=（-2-t）•（-2t），解得t₁=0（舍去），t₂=2，
∴A点坐标为（4，8），
把D点坐标代入y=$\frac{k}{x}$得k=4×8=32．
故答案为32．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了相似三角形的判定与性质．